1. El problema consiste en calcular el volumen $V$ generado por la región delimitada entre las curvas $y=9-x^2$ y $y=x+7$ desde $x=-2$ hasta $x=1$, usando el método de los discos o arandelas. 2. La fórmula para el volumen de revolución alrededor del eje $x$ es: $$V=\pi \int_a^b \left(R(x)^2 - r(x)^2\right) dx$$ donde $R(x)$ es la función exterior (mayor) y $r(x)$ la función interior (menor). 3. En este caso, $R(x) = 9 - x^2$ y $r(x) = x + 7$. 4. Entonces, $$V = \pi \int_{-2}^1 \left((9 - x^2)^2 - (x + 7)^2\right) dx$$ 5. Expandimos los cuadrados: $$(9 - x^2)^2 = 81 - 18x^2 + x^4$$ $$(x + 7)^2 = x^2 + 14x + 49$$ 6. Restamos dentro del integrando: $$81 - 18x^2 + x^4 - (x^2 + 14x + 49) = x^4 - 19x^2 - 14x + 32$$ 7. Por lo tanto, $$V = \pi \int_{-2}^1 (x^4 - 19x^2 - 14x + 32) dx$$ 8. Integramos término a término: $$\int x^4 dx = \frac{x^5}{5}, \quad \int x^2 dx = \frac{x^3}{3}, \quad \int x dx = \frac{x^2}{2}, \quad \int 1 dx = x$$ 9. Aplicando la integral: $$V = \pi \left[ \frac{x^5}{5} - 19 \frac{x^3}{3} - 14 \frac{x^2}{2} + 32x \right]_{-2}^1$$ 10. Evaluamos en $x=1$: $$\frac{1^5}{5} - 19 \frac{1^3}{3} - 14 \frac{1^2}{2} + 32(1) = \frac{1}{5} - \frac{19}{3} - 7 + 32$$ 11. Evaluamos en $x=-2$: $$\frac{(-2)^5}{5} - 19 \frac{(-2)^3}{3} - 14 \frac{(-2)^2}{2} + 32(-2) = \frac{-32}{5} - 19 \frac{-8}{3} - 14 \cdot 2 - 64 = -\frac{32}{5} + \frac{152}{3} - 28 - 64$$ 12. Simplificamos cada evaluación: Para $x=1$: $$\frac{1}{5} - \frac{19}{3} - 7 + 32 = \frac{1}{5} - \frac{19}{3} + 25 = \frac{1}{5} - \frac{19}{3} + \frac{125}{5} = \frac{126}{5} - \frac{19}{3}$$ Para $x=-2$: $$-\frac{32}{5} + \frac{152}{3} - 28 - 64 = -\frac{32}{5} + \frac{152}{3} - 92 = -\frac{32}{5} + \frac{152}{3} - \frac{460}{5} = -\frac{492}{5} + \frac{152}{3}$$ 13. Calculamos la diferencia: $$\left(\frac{126}{5} - \frac{19}{3}\right) - \left(-\frac{492}{5} + \frac{152}{3}\right) = \frac{126}{5} - \frac{19}{3} + \frac{492}{5} - \frac{152}{3} = \frac{618}{5} - \frac{171}{3}$$ 14. Encontramos común denominador $15$: $$\frac{618}{5} = \frac{1854}{15}, \quad \frac{171}{3} = \frac{855}{15}$$ 15. Finalmente: $$\frac{1854}{15} - \frac{855}{15} = \frac{999}{15} = \frac{333}{5} = 66.6$$ 16. Por lo tanto, $$V = \pi \times 66.6 = 66.6\pi$$ **Respuesta final:** $$\boxed{V = \frac{333}{5} \pi}$$