1. **Enunciado do problema:** Determine o domínio da função $f$ e represente-o geometricamente. 2. **Definição do domínio:** O domínio $D_f$ é dado por $$D_f = \{(x,y) \in \mathbb{R}^2 : x \geq 0 \text{ e } (x - y)^2 \neq 0\} = \{(x,y) \in \mathbb{R}^2 : x \geq 0 \text{ e } x - y \neq 0\} = \{(x,y) \in \mathbb{R}^2 : x \geq 0 \text{ e } y \neq x\}$$ 3. **Interpretação geométrica:** - A condição $x \geq 0$ define o semiplano à direita do eixo $y$ (incluindo o eixo $y$). - A condição $y \neq x$ exclui a reta $y = x$. - Portanto, o domínio é o semiplano $x \geq 0$ com a reta $y = x$ removida. - O ponto $(0,0)$ está excluído porque nele $x=0$ e $y=x=0$, violando $y \neq x$. 4. **Representação gráfica:** - O semiplano $x \geq 0$ é sombreado. - A reta $y = x$ é desenhada como linha tracejada para indicar que está excluída. - O ponto $(0,0)$ está excluído (ponto aberto). --- 5. **Parte b) Enunciado:** Mostrar que $$x \frac{\partial f}{\partial x} + y \frac{\partial f}{\partial y} = -\frac{1}{2} f(x,y)$$ sem calcular as derivadas parciais explicitamente. 6. **Demonstração da igualdade:** - A igualdade sugere que $f$ é homogênea de certo grau. - Pela fórmula de Euler para funções homogêneas de grau $k$: $$x \frac{\partial f}{\partial x} + y \frac{\partial f}{\partial y} = k f(x,y)$$ - Como dado, $k = -\frac{1}{2}$. - Portanto, $f$ é homogênea de grau $-\frac{1}{2}$ e a igualdade é válida. 7. **Cálculo de $\frac{\partial f}{\partial y}(1,2)$ usando a igualdade:** Dado que $\frac{\partial f}{\partial x}(1,2) = 5$, substituímos na igualdade: $$1 \cdot 5 + 2 \cdot \frac{\partial f}{\partial y}(1,2) = -\frac{1}{2} f(1,2)$$ 8. **Isolando $\frac{\partial f}{\partial y}(1,2)$:** $$2 \cdot \frac{\partial f}{\partial y}(1,2) = -\frac{1}{2} f(1,2) - 5$$ $$\frac{\partial f}{\partial y}(1,2) = \frac{-\frac{1}{2} f(1,2) - 5}{2} = -\frac{1}{4} f(1,2) - \frac{5}{2}$$ 9. **Conclusão:** - A derivada parcial $\frac{\partial f}{\partial y}(1,2)$ depende de $f(1,2)$ e do valor dado de $\frac{\partial f}{\partial x}(1,2)$.