1. Vamos resolver o problema de calcular a integral tripla $$\iiint_H (x^2 + y^2) \, dv$$ onde $H$ é a região hemisférica acima do plano $xy$ e abaixo da esfera $$x^2 + y^2 + z^2 = 1$$. 2. A esfera tem raio 1 e o hemisfério está definido por $$z \geq 0$$. 3. Para resolver integrais em regiões esféricas, usamos coordenadas esféricas: $$x = \rho \sin\phi \cos\theta$$ $$y = \rho \sin\phi \sin\theta$$ $$z = \rho \cos\phi$$ com $$\rho \in [0,1]$$, $$\phi \in [0, \frac{\pi}{2}]$$ (porque é hemisfério superior), e $$\theta \in [0, 2\pi]$$. 4. O elemento de volume em coordenadas esféricas é: $$dv = \rho^2 \sin\phi \, d\rho \, d\phi \, d\theta$$ 5. Substituímos $x^2 + y^2$ em coordenadas esféricas: $$x^2 + y^2 = (\rho \sin\phi \cos\theta)^2 + (\rho \sin\phi \sin\theta)^2 = \rho^2 \sin^2\phi (\cos^2\theta + \sin^2\theta) = \rho^2 \sin^2\phi$$ 6. A integral fica: $$\iiint_H (x^2 + y^2) \, dv = \int_0^{2\pi} \int_0^{\pi/2} \int_0^1 \rho^2 \sin^2\phi \cdot \rho^2 \sin\phi \, d\rho \, d\phi \, d\theta = \int_0^{2\pi} \int_0^{\pi/2} \int_0^1 \rho^4 \sin^3\phi \, d\rho \, d\phi \, d\theta$$ 7. Integramos em $\rho$: $$\int_0^1 \rho^4 \, d\rho = \left[ \frac{\rho^5}{5} \right]_0^1 = \frac{1}{5}$$ 8. A integral agora é: $$\int_0^{2\pi} \int_0^{\pi/2} \frac{1}{5} \sin^3\phi \, d\phi \, d\theta = \frac{1}{5} \int_0^{2\pi} d\theta \int_0^{\pi/2} \sin^3\phi \, d\phi$$ 9. Integramos em $\theta$: $$\int_0^{2\pi} d\theta = 2\pi$$ 10. Agora falta calcular: $$\int_0^{\pi/2} \sin^3\phi \, d\phi$$ 11. Usamos a identidade $$\sin^3\phi = \sin\phi (1 - \cos^2\phi)$$ e substituímos $u = \cos\phi$, $du = -\sin\phi d\phi$: $$\int_0^{\pi/2} \sin^3\phi \, d\phi = \int_0^{\pi/2} \sin\phi (1 - \cos^2\phi) \, d\phi = \int_1^0 (1 - u^2)(-du) = \int_0^1 (1 - u^2) \, du$$ 12. Calculamos a integral: $$\int_0^1 (1 - u^2) \, du = \left[u - \frac{u^3}{3}\right]_0^1 = 1 - \frac{1}{3} = \frac{2}{3}$$ 13. Finalmente, o valor da integral é: $$\frac{1}{5} \times 2\pi \times \frac{2}{3} = \frac{4\pi}{15}$$ Resposta final: $$\boxed{\frac{4\pi}{15}}$$