1. O problema pede para calcular o valor médio da função $f(x,y,z) = xyz$ sobre o cubo limitado pelos planos coordenados $x=0$, $y=0$, $z=0$ e pelos planos $x=2$, $y=2$, $z=2$ no primeiro octante. 2. O valor médio de uma função $f(x,y,z)$ em uma região $V$ é dado por: $$\text{Valor médio} = \frac{1}{\text{Volume}(V)} \iiint_V f(x,y,z) \, dV$$ 3. O volume do cubo é: $$\text{Volume} = 2 \times 2 \times 2 = 8$$ 4. Calculamos a integral tripla: $$\iiint_V xyz \, dV = \int_0^2 \int_0^2 \int_0^2 xyz \, dx \, dy \, dz$$ 5. Integramos primeiro em relação a $x$: $$\int_0^2 xyz \, dx = yz \int_0^2 x \, dx = yz \left[ \frac{x^2}{2} \right]_0^2 = yz \times 2$$ 6. Agora a integral fica: $$\int_0^2 \int_0^2 2yz \, dy \, dz = 2 \int_0^2 \int_0^2 yz \, dy \, dz$$ 7. Integramos em relação a $y$: $$\int_0^2 yz \, dy = z \int_0^2 y \, dy = z \left[ \frac{y^2}{2} \right]_0^2 = z \times 2$$ 8. A integral agora é: $$2 \int_0^2 2z \, dz = 4 \int_0^2 z \, dz$$ 9. Integramos em relação a $z$: $$4 \left[ \frac{z^2}{2} \right]_0^2 = 4 \times 2 = 8$$ 10. Portanto, a integral tripla é $8$. 11. O valor médio é: $$\frac{1}{8} \times 8 = 1$$ Resposta final: O valor médio da função $f(x,y,z) = xyz$ sobre o cubo dado é $1$.