1. **Planteamiento del problema:** Tenemos una piscina de 12 m de longitud y 5 m de ancho, con fondo inclinado desde 1 m hasta 3 m de profundidad. El agua entra a razón de 1.5 m³/min. Se pide encontrar la rapidez con la que aumenta la profundidad del agua cuando ésta alcanza 2 m en la parte más profunda. 2. **Fórmulas y conceptos importantes:** El volumen de agua en la piscina depende de la profundidad variable debido al fondo inclinado. La profundidad varía linealmente desde 1 m hasta 3 m a lo largo de 12 m. La rapidez de cambio del volumen es $\frac{dV}{dt} = 1.5$ m³/min. Queremos encontrar $\frac{dh}{dt}$, la rapidez con que aumenta la profundidad en la parte más profunda cuando $h=2$ m. 3. **Modelar la profundidad del agua:** Sea $x$ la distancia desde el extremo menos profundo (profundidad 1 m) hasta el extremo más profundo (profundidad 3 m). La profundidad del fondo en función de $x$ es: $$d(x) = 1 + \frac{2}{12}x = 1 + \frac{x}{6}$$ 4. **Profundidad del agua:** Sea $h$ la profundidad del agua en el extremo más profundo (en $x=12$), y $y(x)$ la profundidad del agua en cualquier punto $x$. Como el agua llena la piscina hasta una profundidad $h$ en el extremo profundo, la profundidad del agua en $x$ es: $$y(x) = d(x) - (3 - h) = 1 + \frac{x}{6} - (3 - h) = h - 2 + \frac{x}{6}$$ 5. **Volumen de agua:** El área transversal del agua en $x$ es el ancho por la profundidad del agua: $$A(x) = 5 \times y(x) = 5 \left(h - 2 + \frac{x}{6}\right)$$ El volumen es la integral del área a lo largo de $x$ de 0 a 12: $$V = \int_0^{12} A(x) dx = 5 \int_0^{12} \left(h - 2 + \frac{x}{6}\right) dx$$ 6. **Calcular el volumen:** $$V = 5 \left[ (h - 2) x + \frac{x^2}{12} \right]_0^{12} = 5 \left( (h - 2) \times 12 + \frac{12^2}{12} \right) = 5 \left( 12h - 24 + 12 \right) = 5 (12h - 12) = 60h - 60$$ 7. **Derivar volumen respecto al tiempo:** $$\frac{dV}{dt} = 60 \frac{dh}{dt}$$ 8. **Sustituir $\frac{dV}{dt} = 1.5$ y despejar $\frac{dh}{dt}$:** $$1.5 = 60 \frac{dh}{dt}$$ $$\frac{dh}{dt} = \frac{1.5}{60} = 0.025$$ **Respuesta:** La profundidad del agua en la parte más profunda aumenta a una rapidez de $0.025$ metros por minuto cuando la profundidad es 2 metros.