1. **Stating the problem:** Calcolare il limite $$L_1 = \lim_{x \to +\infty} \sin \left(2 \frac{x^2 - x}{x^2 + 1} - 2\right)$$. 2. **Analisi del limite interno:** Consideriamo l'argomento del seno: $$2 \frac{x^2 - x}{x^2 + 1} - 2$$ 3. **Semplificazione della frazione:** $$\frac{x^2 - x}{x^2 + 1} = \frac{x^2(1 - \frac{1}{x})}{x^2(1 + \frac{1}{x^2})} = \frac{1 - \frac{1}{x}}{1 + \frac{1}{x^2}}$$ 4. **Calcolo del limite della frazione:** Quando $$x \to +\infty$$, $$\frac{1}{x} \to 0$$ e $$\frac{1}{x^2} \to 0$$, quindi $$\lim_{x \to +\infty} \frac{x^2 - x}{x^2 + 1} = \frac{1 - 0}{1 + 0} = 1$$ 5. **Sostituzione nel limite interno:** $$\lim_{x \to +\infty} \left(2 \frac{x^2 - x}{x^2 + 1} - 2\right) = 2 \cdot 1 - 2 = 0$$ 6. **Calcolo del limite finale:** Poiché $$\sin$$ è continua, $$L_1 = \sin(0) = 0$$ --- 1. **Stating the problem:** Calcolare il limite $$L_2 = \lim_{x \to 0} \frac{e^x + \cos(x) + x^3 - 1}{3x^3 + 2}$$. 2. **Espansione in serie di Taylor vicino a 0:** $$e^x = 1 + x + \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{6} + o(x^3)$$ $$\cos(x) = 1 - \frac{x^2}{2} + \frac{x^4}{24} + o(x^4)$$ 3. **Sostituzione e semplificazione del numeratore:** $$e^x + \cos(x) + x^3 - 1 = \left(1 + x + \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{6}\right) + \left(1 - \frac{x^2}{2}\right) + x^3 - 1 + o(x^3)$$ $$= 1 + x + \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{6} + 1 - \frac{x^2}{2} + x^3 - 1 + o(x^3)$$ $$= (1 - 1 + 1) + x + \left(\frac{x^2}{2} - \frac{x^2}{2}\right) + \left(\frac{x^3}{6} + x^3\right) + o(x^3)$$ $$= 1 + x + \frac{7x^3}{6} + o(x^3)$$ 4. **Valutazione del denominatore:** $$3x^3 + 2$$ 5. **Calcolo del limite:** $$\lim_{x \to 0} \frac{1 + x + \frac{7x^3}{6} + o(x^3)}{3x^3 + 2} = \frac{1 + 0 + 0}{0 + 2} = \frac{1}{2}$$ **Risposte finali:** $$L_1 = 0$$ $$L_2 = \frac{1}{2}$$