1. Il problema chiede di calcolare l'integrale $$\int x e^{-\frac{x}{3}} \, dx$$. 2. Per risolvere questo tipo di integrale, useremo l'integrazione per parti, che si basa sulla formula: $$\int u \, dv = uv - \int v \, du$$ Dove scegliamo una parte da derivare ($u$) e una da integrare ($dv$). 3. Scegliamo: $$u = x \quad \Rightarrow \quad du = dx$$ $$dv = e^{-\frac{x}{3}} dx \quad \Rightarrow \quad v = \int e^{-\frac{x}{3}} dx$$ 4. Calcoliamo $v$: $$v = \int e^{-\frac{x}{3}} dx$$ Facciamo il cambio di variabile: $$t = -\frac{x}{3} \Rightarrow dt = -\frac{1}{3} dx \Rightarrow dx = -3 dt$$ Quindi: $$v = \int e^{t} (-3) dt = -3 \int e^{t} dt = -3 e^{t} + C = -3 e^{-\frac{x}{3}} + C$$ 5. Applichiamo la formula di integrazione per parti: $$\int x e^{-\frac{x}{3}} dx = uv - \int v du = x \cdot \left(-3 e^{-\frac{x}{3}}\right) - \int \left(-3 e^{-\frac{x}{3}}\right) dx$$ 6. Semplifichiamo: $$= -3 x e^{-\frac{x}{3}} + 3 \int e^{-\frac{x}{3}} dx$$ 7. Abbiamo già calcolato l'integrale: $$\int e^{-\frac{x}{3}} dx = -3 e^{-\frac{x}{3}} + C$$ 8. Sostituiamo: $$= -3 x e^{-\frac{x}{3}} + 3 \left(-3 e^{-\frac{x}{3}}\right) + C = -3 x e^{-\frac{x}{3}} - 9 e^{-\frac{x}{3}} + C$$ 9. Fattorizziamo l'esponenziale: $$= -3 e^{-\frac{x}{3}} (x + 3) + C$$ Risposta finale: $$\int x e^{-\frac{x}{3}} dx = -3 e^{-\frac{x}{3}} (x + 3) + C$$