1. Il problema chiede di calcolare l'integrale $$\int \sqrt{\sin x} \cos x \, dx$$. 2. Per risolvere questo integrale, usiamo la sostituzione: poniamo $$u = \sin x$$. 3. Calcoliamo la derivata di $$u$$ rispetto a $$x$$: $$\frac{du}{dx} = \cos x$$, quindi $$du = \cos x \, dx$$. 4. Sostituiamo nell'integrale: $$\int \sqrt{\sin x} \cos x \, dx = \int \sqrt{u} \, du$$. 5. Ricordiamo che $$\sqrt{u} = u^{1/2}$$, quindi l'integrale diventa $$\int u^{1/2} \, du$$. 6. Applichiamo la regola di integrazione per potenze: $$\int u^n \, du = \frac{u^{n+1}}{n+1} + C$$, con $$n = \frac{1}{2}$$. 7. Calcoliamo: $$\int u^{1/2} \, du = \frac{u^{3/2}}{3/2} + C = \frac{2}{3} u^{3/2} + C$$. 8. Torniamo alla variabile originale $$x$$: $$\frac{2}{3} (\sin x)^{3/2} + C$$. Risposta finale: $$\int \sqrt{\sin x} \cos x \, dx = \frac{2}{3} (\sin x)^{3/2} + C$$.