1. Il problema consiste nel calcolare un integrale definito utilizzando il metodo per parti. 2. La formula del metodo per parti è $$\int u\, dv = uv - \int v\, du$$. 3. Per integrali definiti, la formula diventa $$\int_a^b u\, dv = \left[ uv \right]_a^b - \int_a^b v\, du$$. 4. Scegliamo $u$ e $dv$ in modo che $du$ e $v$ siano più semplici da calcolare. 5. Calcoliamo $du$ derivando $u$ e $v$ integrando $dv$. 6. Applichiamo la formula sostituendo i valori e calcoliamo i termini al limite da $a$ a $b$. 7. Esempio: calcolare $$\int_0^1 x e^x dx$$. 8. Scegliamo $u = x$, quindi $du = dx$; $dv = e^x dx$, quindi $v = e^x$. 9. Applichiamo la formula: $$\int_0^1 x e^x dx = \left[ x e^x \right]_0^1 - \int_0^1 e^x dx$$. 10. Calcoliamo i termini: $$\left[ x e^x \right]_0^1 = 1 \cdot e^1 - 0 = e$$. 11. Calcoliamo l'integrale rimanente: $$\int_0^1 e^x dx = \left[ e^x \right]_0^1 = e - 1$$. 12. Quindi, $$\int_0^1 x e^x dx = e - (e - 1) = 1$$. 13. Risposta finale: $$\int_0^1 x e^x dx = 1$$.