1. Il problema riguarda il Teorema della Media per gli integrali definiti, che afferma che se $f$ è continua su $[a,b]$, allora esiste almeno un punto $c \in [a,b]$ tale che $$\int_a^b f(x) \, dx = f(c)(b-a).$$ 2. La formula usata è $$f(c) = \frac{1}{b-a} \int_a^b f(x) \, dx,$$ che significa che il valore medio della funzione su $[a,b]$ è uguale al valore della funzione in almeno un punto $c$ dell'intervallo. 3. Regole importanti: la funzione deve essere continua su $[a,b]$ per garantire l'esistenza di tale punto $c$. 4. Esempio: supponiamo $f(x) = x^2$ su $[1,3]$. Calcoliamo l'integrale: $$\int_1^3 x^2 \, dx = \left[ \frac{x^3}{3} \right]_1^3 = \frac{27}{3} - \frac{1}{3} = \frac{26}{3}.$$ 5. Calcoliamo il valore medio: $$f(c) = \frac{1}{3-1} \times \frac{26}{3} = \frac{1}{2} \times \frac{26}{3} = \frac{26}{6} = \frac{13}{3}.$$ 6. Ora troviamo $c$ tale che $f(c) = c^2 = \frac{13}{3}$, quindi $$c = \sqrt{\frac{13}{3}}.$$ 7. Questo $c$ è il punto in $[1,3]$ che soddisfa il Teorema della Media per l'integrale definito. Risposta finale: $$c = \sqrt{\frac{13}{3}}.$$