1. Énoncé du problème : Trouver la dérivée de chaque fonction donnée $f_1$ à $f_{12}$. 2. Rappel des règles de dérivation importantes : - La dérivée de $x^n$ est $nx^{n-1}$. - La dérivée de $\sqrt{x} = x^{1/2}$ est $\frac{1}{2}x^{-1/2}$. - La dérivée d'une somme est la somme des dérivées. - La dérivée d'un produit $uv$ est $u'v + uv'$. - La dérivée d'un quotient $\frac{u}{v}$ est $\frac{u'v - uv'}{v^2}$. 3. Calculs : $f_1(x) = -\frac{2}{3}x^5$ $$f_1'(x) = -\frac{2}{3} \times 5 x^{5-1} = -\frac{10}{3}x^4$$ $f_2(x) = -2\sqrt{x} + 4 = -2x^{1/2} + 4$ $$f_2'(x) = -2 \times \frac{1}{2} x^{-1/2} + 0 = -x^{-1/2} = -\frac{1}{\sqrt{x}}$$ $f_3(x) = 3x^2 - 2\sqrt{x} = 3x^2 - 2x^{1/2}$ $$f_3'(x) = 3 \times 2 x^{1} - 2 \times \frac{1}{2} x^{-1/2} = 6x - x^{-1/2} = 6x - \frac{1}{\sqrt{x}}$$ $f_4(x) = x^3 - \frac{2}{x} = x^3 - 2x^{-1}$ $$f_4'(x) = 3x^2 - 2 \times (-1) x^{-2} = 3x^2 + 2x^{-2} = 3x^2 + \frac{2}{x^2}$$ $f_5(x) = -3x^4 + x^2 - \frac{1}{2}x + 4$ $$f_5'(x) = -3 \times 4 x^3 + 2x - \frac{1}{2} + 0 = -12x^3 + 2x - \frac{1}{2}$$ $f_6(x) = \frac{x^3}{3} - 2x^2 - 2x + 5$ $$f_6'(x) = \frac{3x^2}{3} - 2 \times 2 x - 2 + 0 = x^2 - 4x - 2$$ $f_7(x) = (x^2 + 3)(x - 1)$ Utilisation de la règle du produit : $$f_7'(x) = (2x)(x - 1) + (x^2 + 3)(1) = 2x(x - 1) + x^2 + 3 = 2x^2 - 2x + x^2 + 3 = 3x^2 - 2x + 3$$ $f_8(x) = (2x - 3)\sqrt{x} = (2x - 3) x^{1/2}$ Utilisation de la règle du produit : $$f_8'(x) = (2)(x^{1/2}) + (2x - 3) \times \frac{1}{2} x^{-1/2} = 2x^{1/2} + \frac{2x - 3}{2} x^{-1/2}$$ Simplification : $$= 2\sqrt{x} + \frac{2x - 3}{2\sqrt{x}}$$ $f_9(x) = \frac{1}{x - 7} = (x - 7)^{-1}$ $$f_9'(x) = -1 (x - 7)^{-2} \times 1 = -\frac{1}{(x - 7)^2}$$ $f_{10}(x) = -\frac{4}{x^2 + 1} = -4 (x^2 + 1)^{-1}$ $$f_{10}'(x) = -4 \times (-1)(x^2 + 1)^{-2} \times 2x = 8x (x^2 + 1)^{-2} = \frac{8x}{(x^2 + 1)^2}$$ $f_{11}(x) = \frac{x^2 - 3}{2x - 1}$ Utilisation de la règle du quotient : $$u = x^2 - 3, u' = 2x$$ $$v = 2x - 1, v' = 2$$ $$f_{11}'(x) = \frac{2x (2x - 1) - (x^2 - 3) 2}{(2x - 1)^2} = \frac{2x(2x - 1) - 2(x^2 - 3)}{(2x - 1)^2}$$ Développons le numérateur : $$= \frac{4x^2 - 2x - 2x^2 + 6}{(2x - 1)^2} = \frac{2x^2 - 2x + 6}{(2x - 1)^2}$$ $f_{12}(x) = \frac{\sqrt{x}}{x^2 - 3} = \frac{x^{1/2}}{x^2 - 3}$ Utilisation de la règle du quotient : $$u = x^{1/2}, u' = \frac{1}{2} x^{-1/2}$$ $$v = x^2 - 3, v' = 2x$$ $$f_{12}'(x) = \frac{\frac{1}{2} x^{-1/2} (x^2 - 3) - x^{1/2} (2x)}{(x^2 - 3)^2}$$ Simplifions le numérateur : $$= \frac{(x^2 - 3)}{2\sqrt{x}} - \frac{2x \sqrt{x}}{1} = \frac{x^2 - 3}{2\sqrt{x}} - 2x^{3/2}$$ 4. Résumé des dérivées : - $f_1'(x) = -\frac{10}{3} x^4$ - $f_2'(x) = -\frac{1}{\sqrt{x}}$ - $f_3'(x) = 6x - \frac{1}{\sqrt{x}}$ - $f_4'(x) = 3x^2 + \frac{2}{x^2}$ - $f_5'(x) = -12x^3 + 2x - \frac{1}{2}$ - $f_6'(x) = x^2 - 4x - 2$ - $f_7'(x) = 3x^2 - 2x + 3$ - $f_8'(x) = 2\sqrt{x} + \frac{2x - 3}{2\sqrt{x}}$ - $f_9'(x) = -\frac{1}{(x - 7)^2}$ - $f_{10}'(x) = \frac{8x}{(x^2 + 1)^2}$ - $f_{11}'(x) = \frac{2x^2 - 2x + 6}{(2x - 1)^2}$ - $f_{12}'(x) = \frac{\frac{x^2 - 3}{2\sqrt{x}} - 2x^{3/2}}{(x^2 - 3)^2}$ Chaque dérivée a été calculée en appliquant les règles de dérivation de base et en simplifiant les expressions intermédiaires.