1. Le problème est de corriger la dérivée de la fonction $f(t) = (2t - 0,05)e^{-t}$ pour $t=4$. 2. La fonction est un produit de deux fonctions : $u(t) = 2t - 0,05$ et $v(t) = e^{-t}$. 3. La dérivée d'un produit est donnée par la règle : $$f'(t) = u'(t)v(t) + u(t)v'(t)$$ 4. Calculons les dérivées partielles : - $u'(t) = 2$ - $v'(t) = -e^{-t}$ 5. Appliquons la règle : $$f'(t) = 2e^{-t} + (2t - 0,05)(-e^{-t}) = 2e^{-t} - (2t - 0,05)e^{-t}$$ 6. Simplifions : $$f'(t) = (2 - 2t + 0,05)e^{-t} = (2,05 - 2t)e^{-t}$$ 7. Pour $t=4$, calculons : $$f'(4) = (2,05 - 2 \times 4)e^{-4} = (2,05 - 8)e^{-4} = -5,95 e^{-4}$$ 8. La valeur exacte est donc : $$f'(4) = -5,95 e^{-4}$$ 9. En résumé, la dérivée est correcte et la valeur pour $t=4$ est $-5,95 e^{-4}$.