1. **Énoncé du problème :** Trouver la dérivée de la fonction $f(x) = 2x^2 - \frac{1}{x}$, déterminer le signe de cette dérivée, résoudre $f'(x) = 0$ et trouver les extremums. 2. **Formule utilisée :** La dérivée de $x^n$ est $nx^{n-1}$ et la dérivée de $\frac{1}{x} = x^{-1}$ est $-x^{-2}$. 3. **Calcul de la dérivée :** $$f'(x) = \frac{d}{dx}\left(2x^2 - x^{-1}\right) = 2 \times 2x^{2-1} - (-1)x^{-1-1} = 4x + x^{-2} = 4x + \frac{1}{x^2}$$ 4. **Signe de la dérivée :** - $4x$ est positif si $x > 0$, négatif si $x < 0$. - $\frac{1}{x^2}$ est toujours positif sauf en $x=0$ où la fonction n'est pas définie. - Donc, pour $x > 0$, $f'(x) = 4x + \frac{1}{x^2} > 0$. - Pour $x < 0$, $4x < 0$ mais $\frac{1}{x^2} > 0$, il faut étudier le signe global. 5. **Résolution de $f'(x) = 0$ :** $$4x + \frac{1}{x^2} = 0$$ Multiplions par $x^2$ (en excluant $x=0$) : $$x^2 \times 4x + x^2 \times \frac{1}{x^2} = 4x^3 + 1 = 0$$ $$4x^3 = -1$$ $$x^3 = -\frac{1}{4}$$ $$x = -\sqrt[3]{\frac{1}{4}} = -\frac{1}{\sqrt[3]{4}}$$ 6. **Étude des extremums :** - Le seul point critique est $x = -\frac{1}{\sqrt[3]{4}}$. - Pour $x > 0$, $f'(x) > 0$ donc $f$ est croissante. - Pour $x < -\frac{1}{\sqrt[3]{4}}$, testons un point, par exemple $x = -1$ : $$f'(-1) = 4(-1) + \frac{1}{(-1)^2} = -4 + 1 = -3 < 0$$ - Pour $-\frac{1}{\sqrt[3]{4}} < x < 0$, testons $x = -0.1$ : $$f'(-0.1) = 4(-0.1) + \frac{1}{(-0.1)^2} = -0.4 + 100 = 99.6 > 0$$ - Donc $f'(x)$ passe de négatif à positif en $x = -\frac{1}{\sqrt[3]{4}}$, ce qui correspond à un minimum local. **Réponse finale :** - $f'(x) = 4x + \frac{1}{x^2}$ - $f'(x) > 0$ pour $x > 0$ et pour $x$ entre $-\frac{1}{\sqrt[3]{4}}$ et $0$ - $f'(x) < 0$ pour $x < -\frac{1}{\sqrt[3]{4}}$ - $f'(x) = 0$ en $x = -\frac{1}{\sqrt[3]{4}}$ - $f$ a un minimum local en $x = -\frac{1}{\sqrt[3]{4}}$