1. Énoncé du problème : Trouver la dérivée de la fonction $$h(x) = \frac{1 - 2x^4}{x^3}$$ de deux façons différentes. 2. Première méthode : Simplification avant dérivation. On simplifie d'abord la fonction en divisant chaque terme du numérateur par $$x^3$$ : $$h(x) = \frac{1}{x^3} - \frac{2x^4}{x^3} = x^{-3} - 2x^{4-3} = x^{-3} - 2x^{1}$$ 3. On applique la règle de dérivation des puissances $$\frac{d}{dx} x^n = nx^{n-1}$$ : $$h'(x) = -3x^{-4} - 2 \times 1 x^{0} = -3x^{-4} - 2$$ 4. Deuxième méthode : Utilisation de la règle du quotient. La règle du quotient est : $$\frac{d}{dx} \left( \frac{f(x)}{g(x)} \right) = \frac{f'(x)g(x) - f(x)g'(x)}{(g(x))^2}$$ Ici, $$f(x) = 1 - 2x^4$$ et $$g(x) = x^3$$. Calculons les dérivées : $$f'(x) = 0 - 8x^3 = -8x^3$$ $$g'(x) = 3x^2$$ Appliquons la règle du quotient : $$h'(x) = \frac{(-8x^3)(x^3) - (1 - 2x^4)(3x^2)}{(x^3)^2} = \frac{-8x^{6} - 3x^{2} + 6x^{6}}{x^{6}}$$ Simplifions le numérateur : $$-8x^{6} + 6x^{6} - 3x^{2} = -2x^{6} - 3x^{2}$$ Donc : $$h'(x) = \frac{-2x^{6} - 3x^{2}}{x^{6}}$$ On divise chaque terme par $$x^{6}$$ : $$h'(x) = \frac{-2x^{6}}{x^{6}} + \frac{-3x^{2}}{x^{6}} = -2 - 3x^{-4}$$ 5. Vérification : Les deux méthodes donnent la même dérivée : $$h'(x) = -3x^{-4} - 2 = -2 - 3x^{-4}$$ C'est la dérivée de la fonction donnée.