1. Énonçons le problème : nous devons calculer la dérivée seconde de la fonction $$P(t) = \frac{1200}{1+3e^{-t+3}}$$. 2. Rappelons la formule de dérivation d'un quotient : si $$f(t) = \frac{u(t)}{v(t)}$$, alors $$f'(t) = \frac{u'(t)v(t) - u(t)v'(t)}{v(t)^2}$$. 3. Ici, $$u(t) = 1200$$ (constante) et $$v(t) = 1 + 3e^{-t+3}$$. 4. Calculons $$v'(t)$$ : $$v'(t) = 3 \times \frac{d}{dt} e^{-t+3} = 3 \times (-1) e^{-t+3} = -3e^{-t+3}$$. 5. Calculons la dérivée première $$P'(t)$$ : $$P'(t) = \frac{0 \times v(t) - 1200 \times v'(t)}{v(t)^2} = \frac{-1200(-3e^{-t+3})}{(1+3e^{-t+3})^2} = \frac{3600 e^{-t+3}}{(1+3e^{-t+3})^2}$$. 6. Pour la dérivée seconde $$P''(t)$$, utilisons la règle du quotient ou la règle du produit en posant $$P'(t) = 3600 e^{-t+3} (1+3e^{-t+3})^{-2}$$. 7. Posons $$f(t) = e^{-t+3}$$ et $$g(t) = (1+3e^{-t+3})^{-2}$$. 8. Calculons $$f'(t) = -e^{-t+3} = -f(t)$$. 9. Calculons $$g'(t)$$ : $$g(t) = (1+3f(t))^{-2}$$ donc $$g'(t) = -2(1+3f(t))^{-3} \times 3f'(t) = -6(1+3f(t))^{-3} (-f(t)) = 6f(t)(1+3f(t))^{-3}$$. 10. Appliquons la règle du produit : $$P''(t) = 3600 [f'(t)g(t) + f(t)g'(t)] = 3600 [-f(t)(1+3f(t))^{-2} + f(t) \times 6f(t)(1+3f(t))^{-3}]$$. 11. Simplifions : $$P''(t) = 3600 f(t)(1+3f(t))^{-3} [- (1+3f(t)) + 6f(t)] = 3600 f(t)(1+3f(t))^{-3} [-1 -3f(t) + 6f(t)] = 3600 f(t)(1+3f(t))^{-3} (-1 + 3f(t))$$. 12. En remplaçant $$f(t) = e^{-t+3}$$, la dérivée seconde est : $$P''(t) = \frac{3600 e^{-t+3} (-1 + 3 e^{-t+3})}{(1 + 3 e^{-t+3})^3}$$. C'est la dérivée seconde de la fonction donnée.