1. Énonçons le problème : Calculer la dérivée de la fonction $$f(x) = \frac{\sin(x)}{\cos(x)}$$. 2. La formule utilisée est la règle du quotient : $$\left(\frac{u}{v}\right)' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$$ avec ici $$u = \sin(x)$$ et $$v = \cos(x)$$. 3. Calculons les dérivées de $$u$$ et $$v$$ : $$u' = \cos(x)$$ $$v' = -\sin(x)$$ 4. Appliquons la règle du quotient : $$f'(x) = \frac{\cos(x) \cdot \cos(x) - \sin(x) \cdot (-\sin(x))}{\cos^2(x)} = \frac{\cos^2(x) + \sin^2(x)}{\cos^2(x)}$$ 5. Utilisons l'identité trigonométrique fondamentale : $$\sin^2(x) + \cos^2(x) = 1$$ 6. Donc : $$f'(x) = \frac{1}{\cos^2(x)}$$ 7. On peut aussi écrire cela comme : $$f'(x) = \sec^2(x)$$ C'est la dérivée de $$f(x) = \tan(x)$$, ce qui est cohérent puisque $$\frac{\sin(x)}{\cos(x)} = \tan(x)$$.