1. **Énoncé du problème :** Calculer les dérivées des fonctions suivantes : a) $f(x) = 3x^3 - \frac{4x}{3} + \sqrt{5} - \sqrt[3]{x^4} + \frac{1}{x^3}$ b) $g(x) = (x^2 - 3x + 2)^2$ c) $h(x) = \sqrt[3]{2x^2 - 3}$ d) $k(x) = \frac{2x - 5}{\sqrt{x^2 - 1}}$ e) $m(x) = \frac{x + \cos x}{\sin x}$ 2. **Rappel des règles de dérivation importantes :** - La dérivée de $x^n$ est $nx^{n-1}$. - La dérivée d'une constante est 0. - La dérivée de $\sqrt{x} = x^{1/2}$ est $\frac{1}{2}x^{-1/2}$. - La dérivée de $\sqrt[3]{x} = x^{1/3}$ est $\frac{1}{3}x^{-2/3}$. - La dérivée d'une somme est la somme des dérivées. - La dérivée d'un produit $uv$ est $u'v + uv'$. - La dérivée d'un quotient $\frac{u}{v}$ est $\frac{u'v - uv'}{v^2}$. - La dérivée de $\cos x$ est $-\sin x$. - La dérivée de $\sin x$ est $\cos x$. - La dérivée d'une fonction composée $f(g(x))$ est $f'(g(x)) \cdot g'(x)$ (règle de la chaîne). --- ### a) Calcul de $f'(x)$ $$f(x) = 3x^3 - \frac{4x}{3} + \sqrt{5} - \sqrt[3]{x^4} + \frac{1}{x^3}$$ - Dérivée de $3x^3$ : $3 \times 3x^{2} = 9x^{2}$ - Dérivée de $-\frac{4x}{3}$ : $-\frac{4}{3}$ - Dérivée de $\sqrt{5}$ (constante) : $0$ - $\sqrt[3]{x^4} = x^{4/3}$ donc dérivée : $\frac{4}{3}x^{\frac{4}{3} - 1} = \frac{4}{3}x^{\frac{1}{3}}$ - Dérivée de $-\sqrt[3]{x^4}$ : $-\frac{4}{3}x^{1/3}$ - $\frac{1}{x^3} = x^{-3}$ donc dérivée : $-3x^{-4}$ Donc : $$f'(x) = 9x^{2} - \frac{4}{3} - \frac{4}{3}x^{1/3} - 3x^{-4}$$ --- ### b) Calcul de $g'(x)$ $$g(x) = (x^2 - 3x + 2)^2$$ Utilisation de la règle de la chaîne : $$g'(x) = 2(x^2 - 3x + 2) \times \frac{d}{dx}(x^2 - 3x + 2)$$ Calcul de la dérivée intérieure : $$\frac{d}{dx}(x^2 - 3x + 2) = 2x - 3$$ Donc : $$g'(x) = 2(x^2 - 3x + 2)(2x - 3)$$ --- ### c) Calcul de $h'(x)$ $$h(x) = \sqrt[3]{2x^2 - 3} = (2x^2 - 3)^{1/3}$$ Par la règle de la chaîne : $$h'(x) = \frac{1}{3}(2x^2 - 3)^{-2/3} \times \frac{d}{dx}(2x^2 - 3)$$ Calcul de la dérivée intérieure : $$\frac{d}{dx}(2x^2 - 3) = 4x$$ Donc : $$h'(x) = \frac{1}{3}(2x^2 - 3)^{-2/3} \times 4x = \frac{4x}{3(2x^2 - 3)^{2/3}}$$ --- ### d) Calcul de $k'(x)$ $$k(x) = \frac{2x - 5}{\sqrt{x^2 - 1}} = \frac{2x - 5}{(x^2 - 1)^{1/2}}$$ Soit $u = 2x - 5$ et $v = (x^2 - 1)^{1/2}$. Dérivées : $$u' = 2$$ $$v' = \frac{1}{2}(x^2 - 1)^{-1/2} \times 2x = \frac{x}{\sqrt{x^2 - 1}}$$ Par la règle du quotient : $$k'(x) = \frac{u'v - uv'}{v^2} = \frac{2 \times (x^2 - 1)^{1/2} - (2x - 5) \times \frac{x}{(x^2 - 1)^{1/2}}}{(x^2 - 1)}$$ Mettons au même dénominateur dans le numérateur : $$= \frac{2\sqrt{x^2 - 1} \times \sqrt{x^2 - 1} - x(2x - 5)}{(x^2 - 1)^{3/2}} = \frac{2(x^2 - 1) - x(2x - 5)}{(x^2 - 1)^{3/2}}$$ Calculons le numérateur : $$2x^2 - 2 - 2x^2 + 5x = 5x - 2$$ Donc : $$k'(x) = \frac{5x - 2}{(x^2 - 1)^{3/2}}$$ --- ### e) Calcul de $m'(x)$ $$m(x) = \frac{x + \cos x}{\sin x}$$ Soit $u = x + \cos x$ et $v = \sin x$. Dérivées : $$u' = 1 - \sin x$$ $$v' = \cos x$$ Par la règle du quotient : $$m'(x) = \frac{u'v - uv'}{v^2} = \frac{(1 - \sin x) \sin x - (x + \cos x) \cos x}{\sin^2 x}$$ Développons le numérateur : $$\sin x - \sin^2 x - x \cos x - \cos^2 x$$ On peut laisser sous cette forme ou regrouper selon besoin. --- **Réponses finales :** $$\boxed{\begin{cases} f'(x) = 9x^{2} - \frac{4}{3} - \frac{4}{3}x^{1/3} - 3x^{-4} \\ g'(x) = 2(x^2 - 3x + 2)(2x - 3) \\ h'(x) = \frac{4x}{3(2x^2 - 3)^{2/3}} \\ k'(x) = \frac{5x - 2}{(x^2 - 1)^{3/2}} \\ m'(x) = \frac{(1 - \sin x) \sin x - (x + \cos x) \cos x}{\sin^2 x} \end{cases}}$$