1. **Énoncé du problème** : Trouver la dérivée première et la dérivée seconde de la fonction $$y = \sqrt{4x^2 + 6x - 4}$$. 2. **Formule utilisée** : Pour une fonction composée $$y = \sqrt{u(x)} = (u(x))^{1/2}$$, la dérivée est donnée par la règle de la chaîne : $$y' = \frac{1}{2\sqrt{u(x)}} \cdot u'(x)$$ 3. **Calcul de la dérivée première** : - Posons $$u(x) = 4x^2 + 6x - 4$$. - Calculons $$u'(x) = 8x + 6$$. - Appliquons la formule : $$y' = \frac{1}{2\sqrt{4x^2 + 6x - 4}} \cdot (8x + 6) = \frac{8x + 6}{2\sqrt{4x^2 + 6x - 4}}$$ 4. **Calcul de la dérivée seconde** : - On dérive $$y' = \frac{8x + 6}{2\sqrt{4x^2 + 6x - 4}}$$ en utilisant la règle du quotient : $$y' = \frac{f(x)}{g(x)}$$ avec $$f(x) = 8x + 6$$ et $$g(x) = 2\sqrt{4x^2 + 6x - 4}$$. - Calculons $$f'(x) = 8$$. - Calculons $$g(x) = 2(4x^2 + 6x - 4)^{1/2}$$ donc $$g'(x) = 2 \cdot \frac{1}{2}(4x^2 + 6x - 4)^{-1/2} \cdot (8x + 6) = \frac{8x + 6}{\sqrt{4x^2 + 6x - 4}}$$. - Appliquons la règle du quotient : $$y'' = \frac{f'(x)g(x) - f(x)g'(x)}{(g(x))^2} = \frac{8 \cdot 2\sqrt{4x^2 + 6x - 4} - (8x + 6) \cdot \frac{8x + 6}{\sqrt{4x^2 + 6x - 4}}}{(2\sqrt{4x^2 + 6x - 4})^2}$$ - Simplifions le dénominateur : $$(2\sqrt{4x^2 + 6x - 4})^2 = 4(4x^2 + 6x - 4)$$ - Écrivons le numérateur avec un dénominateur commun $$\sqrt{4x^2 + 6x - 4}$$ : $$8 \cdot 2\sqrt{4x^2 + 6x - 4} = 16\sqrt{4x^2 + 6x - 4} = \frac{16(4x^2 + 6x - 4)}{\sqrt{4x^2 + 6x - 4}}$$ - Donc le numérateur devient : $$\frac{16(4x^2 + 6x - 4) - (8x + 6)^2}{\sqrt{4x^2 + 6x - 4}}$$ - Ainsi : $$y'' = \frac{\frac{16(4x^2 + 6x - 4) - (8x + 6)^2}{\sqrt{4x^2 + 6x - 4}}}{4(4x^2 + 6x - 4)} = \frac{16(4x^2 + 6x - 4) - (8x + 6)^2}{4(4x^2 + 6x - 4)^{3/2}}$$ 5. **Développement et simplification** : - Calculons $$16(4x^2 + 6x - 4) = 64x^2 + 96x - 64$$ - Calculons $$(8x + 6)^2 = 64x^2 + 96x + 36$$ - Soustraction : $$64x^2 + 96x - 64 - (64x^2 + 96x + 36) = -100$$ 6. **Formule finale** : $$y'' = \frac{-100}{4(4x^2 + 6x - 4)^{3/2}} = \frac{-25}{(4x^2 + 6x - 4)^{3/2}}$$ **Réponse finale** : $$y' = \frac{8x + 6}{2\sqrt{4x^2 + 6x - 4}}$$ $$y'' = \frac{-25}{(4x^2 + 6x - 4)^{3/2}}$$