1. Énoncé du problème : Trouver la dérivée $f'(x)$ des fonctions données. 2. Rappel des règles de dérivation importantes : - La dérivée de $x^n$ est $nx^{n-1}$. - La dérivée d'une somme est la somme des dérivées. - La dérivée d'un quotient $\frac{u}{v}$ est $\frac{u'v - uv'}{v^2}$. - La dérivée d'un produit $uv$ est $u'v + uv'$. - La dérivée de $\sqrt{g(x)}$ est $\frac{g'(x)}{2\sqrt{g(x)}}$. 3. Calculs détaillés : **a)** $f(x) = -2x^3 + 3x^2 + 6x + 7$ $$f'(x) = -2 \times 3x^{3-1} + 3 \times 2x^{2-1} + 6 \times 1 + 0 = -6x^2 + 6x + 6$$ **b)** $f(x) = \frac{2x^3}{x - 4}$ Soit $u = 2x^3$, $v = x - 4$, alors $$u' = 6x^2, \quad v' = 1$$ $$f'(x) = \frac{u'v - uv'}{v^2} = \frac{6x^2(x - 4) - 2x^3 \times 1}{(x - 4)^2} = \frac{6x^3 - 24x^2 - 2x^3}{(x - 4)^2} = \frac{4x^3 - 24x^2}{(x - 4)^2}$$ **c)** $f(x) = \sqrt{4 - x}$ Soit $g(x) = 4 - x$, alors $g'(x) = -1$ $$f'(x) = \frac{g'(x)}{2\sqrt{g(x)}} = \frac{-1}{2\sqrt{4 - x}} = -\frac{1}{2\sqrt{4 - x}}$$ **d)** $f(x) = \frac{9}{2x + 1}$ Soit $u = 9$, $v = 2x + 1$, alors $u' = 0$, $v' = 2$ $$f'(x) = \frac{0 \times v - 9 \times 2}{(2x + 1)^2} = -\frac{18}{(2x + 1)^2}$$ **e)** $f(x) = \frac{x^2}{1 - x}$ Soit $u = x^2$, $v = 1 - x$, alors $u' = 2x$, $v' = -1$ $$f'(x) = \frac{2x(1 - x) - x^2(-1)}{(1 - x)^2} = \frac{2x - 2x^2 + x^2}{(1 - x)^2} = \frac{2x - x^2}{(1 - x)^2}$$ **f)** $f(x) = \frac{2x - 1}{x^2 + 1}$ Soit $u = 2x - 1$, $v = x^2 + 1$, alors $u' = 2$, $v' = 2x$ $$f'(x) = \frac{2(x^2 + 1) - (2x - 1)2x}{(x^2 + 1)^2} = \frac{2x^2 + 2 - 4x^2 + 2x}{(x^2 + 1)^2} = \frac{-2x^2 + 2x + 2}{(x^2 + 1)^2}$$ **g)** $f(x) = (3x^2 - x)\sqrt{x}$ Soit $u = 3x^2 - x$, $v = x^{1/2}$, alors $u' = 6x - 1$, $v' = \frac{1}{2}x^{-1/2}$ $$f'(x) = u'v + uv' = (6x - 1)x^{1/2} + (3x^2 - x) \frac{1}{2} x^{-1/2} = (6x - 1)\sqrt{x} + \frac{3x^2 - x}{2\sqrt{x}}$$ **h)** $f(x) = x \sqrt{-2x + 1}$ Soit $u = x$, $v = (-2x + 1)^{1/2}$, alors $u' = 1$, $v' = \frac{-2}{2\sqrt{-2x + 1}} = -\frac{1}{\sqrt{-2x + 1}}$ $$f'(x) = u'v + uv' = \sqrt{-2x + 1} + x \left(-\frac{1}{\sqrt{-2x + 1}}\right) = \sqrt{-2x + 1} - \frac{x}{\sqrt{-2x + 1}}$$ **i)** $f(x) = (2x + 3)(3x - 7)$ Produit simple : $$f'(x) = (2)(3x - 7) + (2x + 3)(3) = 6x - 14 + 6x + 9 = 12x - 5$$ **j)** $f(x) = (2x - 3)\sqrt{4x + 5}$ Soit $u = 2x - 3$, $v = (4x + 5)^{1/2}$, alors $u' = 2$, $v' = \frac{4}{2\sqrt{4x + 5}} = \frac{2}{\sqrt{4x + 5}}$ $$f'(x) = u'v + uv' = 2\sqrt{4x + 5} + (2x - 3) \frac{2}{\sqrt{4x + 5}} = 2\sqrt{4x + 5} + \frac{2(2x - 3)}{\sqrt{4x + 5}}$$ **k)** $f(x) = \frac{5 + 2x}{3x}$ Soit $u = 5 + 2x$, $v = 3x$, alors $u' = 2$, $v' = 3$ $$f'(x) = \frac{2 \times 3x - (5 + 2x) \times 3}{(3x)^2} = \frac{6x - 15 - 6x}{9x^2} = \frac{-15}{9x^2} = -\frac{5}{3x^2}$$ **l)** $f(x) = \sqrt{\frac{1 - x^2}{x + 2}}$ Soit $g(x) = \frac{1 - x^2}{x + 2}$, alors $$g'(x) = \frac{(-2x)(x + 2) - (1 - x^2)(1)}{(x + 2)^2} = \frac{-2x^2 - 4x - 1 + x^2}{(x + 2)^2} = \frac{-x^2 - 4x - 1}{(x + 2)^2}$$ Donc $$f'(x) = \frac{g'(x)}{2\sqrt{g(x)}} = \frac{-x^2 - 4x - 1}{2(x + 2)^2 \sqrt{\frac{1 - x^2}{x + 2}}} = \frac{-x^2 - 4x - 1}{2(x + 2)^2} \times \frac{\sqrt{x + 2}}{\sqrt{1 - x^2}}$$ **m)** $f(x) = \sqrt{\frac{x^2 - 3}{x^2 + 1}}$ Soit $g(x) = \frac{x^2 - 3}{x^2 + 1}$, alors $$g'(x) = \frac{2x(x^2 + 1) - (x^2 - 3)2x}{(x^2 + 1)^2} = \frac{2x^3 + 2x - 2x^3 + 6x}{(x^2 + 1)^2} = \frac{8x}{(x^2 + 1)^2}$$ Donc $$f'(x) = \frac{g'(x)}{2\sqrt{g(x)}} = \frac{8x}{2(x^2 + 1)^2 \sqrt{\frac{x^2 - 3}{x^2 + 1}}} = \frac{4x}{(x^2 + 1)^2} \times \frac{\sqrt{x^2 + 1}}{\sqrt{x^2 - 3}}$$ **n)** $f(x) = \frac{\sqrt{x}}{x - 2}$ Soit $u = \sqrt{x} = x^{1/2}$, $v = x - 2$, alors $u' = \frac{1}{2}x^{-1/2}$, $v' = 1$ $$f'(x) = \frac{u'v - uv'}{v^2} = \frac{\frac{1}{2}x^{-1/2}(x - 2) - x^{1/2} \times 1}{(x - 2)^2} = \frac{\frac{x - 2}{2\sqrt{x}} - \sqrt{x}}{(x - 2)^2} = \frac{\frac{x - 2 - 2x}{2\sqrt{x}}}{(x - 2)^2} = \frac{\frac{-x - 2}{2\sqrt{x}}}{(x - 2)^2} = -\frac{x + 2}{2\sqrt{x}(x - 2)^2}$$