1. Énonçons le problème : on veut comprendre la différence entre les expressions $$\frac{f(b)-f(a)}{b-a}$$ et $$\frac{f(a+h)-f(a)}{h}$$. 2. Ces deux expressions représentent des taux de variation moyens d'une fonction $f$. 3. La première expression $$\frac{f(b)-f(a)}{b-a}$$ calcule le taux de variation moyen de $f$ entre deux points distincts $a$ et $b$. 4. La deuxième expression $$\frac{f(a+h)-f(a)}{h}$$ calcule le taux de variation moyen de $f$ entre $a$ et un point proche $a+h$, où $h$ est un petit incrément. 5. Important : dans la deuxième expression, $h \neq 0$ pour que la division soit définie. 6. Lorsque $h$ tend vers zéro, $$\frac{f(a+h)-f(a)}{h}$$ devient la définition du taux de variation instantané ou la dérivée de $f$ en $a$. 7. En résumé, $$\frac{f(b)-f(a)}{b-a}$$ est un taux de variation moyen sur un intervalle fini, tandis que $$\frac{f(a+h)-f(a)}{h}$$ est un taux de variation moyen sur un intervalle infinitésimal qui mène à la dérivée. 8. Cette distinction est fondamentale en calcul différentiel pour passer du taux moyen au taux instantané.