1. **Énoncé du problème :** Nous devons rappeler l'équation cartésienne d'un cercle de centre $O$ et de rayon 4, puis déterminer la fonction décrivant le demi-cercle supérieur, et enfin estimer la surface du demi-disque à l'aide de différentes méthodes numériques. 2. **Équation du cercle :** L'équation cartésienne d'un cercle de centre $O(0,0)$ et de rayon $r=4$ est donnée par : $$x^2 + y^2 = 4^2 = 16$$ 3. **Fonction du demi-cercle supérieur :** Pour le demi-cercle supérieur, on exprime $y$ en fonction de $x$ : $$y = \sqrt{16 - x^2}$$ avec $x \in [-4,4]$. 4. **Méthode des rectangles pour estimer la surface du demi-disque avec 8 rectangles :** L'intervalle $[-4,4]$ est divisé en 8 sous-intervalles de largeur : $$\Delta x = \frac{4 - (-4)}{8} = 1$$ Les points de subdivision sont : $x_0 = -4, x_1 = -3, ..., x_8 = 4$. a. **Point de gauche :** $$S_{gauche} = \sum_{i=0}^{7} f(x_i) \Delta x = \sum_{i=0}^{7} \sqrt{16 - x_i^2} \times 1$$ Calcul des hauteurs : $f(-4)=0$, $f(-3)=\sqrt{16-9}=\sqrt{7}\approx 2.6458$, $f(-2)=\sqrt{12}\approx 3.4641$, $f(-1)=\sqrt{15}\approx 3.8730$, $f(0)=4$, $f(1)=3.8730$, $f(2)=3.4641$, $f(3)=2.6458$ Donc : $$S_{gauche} = 0 + 2.6458 + 3.4641 + 3.8730 + 4 + 3.8730 + 3.4641 + 2.6458 = 24.9658$$ b. **Point de droite :** $$S_{droite} = \sum_{i=1}^{8} f(x_i) \Delta x = \sum_{i=1}^{8} \sqrt{16 - x_i^2} \times 1$$ Calcul des hauteurs : $f(-3)=2.6458$, $f(-2)=3.4641$, $f(-1)=3.8730$, $f(0)=4$, $f(1)=3.8730$, $f(2)=3.4641$, $f(3)=2.6458$, $f(4)=0$ Donc : $$S_{droite} = 2.6458 + 3.4641 + 3.8730 + 4 + 3.8730 + 3.4641 + 2.6458 + 0 = 24.9658$$ c. **Point milieu :** Les points milieux sont $x_i^* = x_i + \frac{\Delta x}{2} = -3.5, -2.5, ..., 3.5$ Calcul des hauteurs : $f(-3.5)=\sqrt{16 - 12.25} = \sqrt{3.75} \approx 1.9365$ $f(-2.5)=\sqrt{16 - 6.25} = \sqrt{9.75} \approx 3.1225$ $f(-1.5)=\sqrt{16 - 2.25} = \sqrt{13.75} \approx 3.7081$ $f(-0.5)=\sqrt{16 - 0.25} = \sqrt{15.75} \approx 3.9686$ $f(0.5)=3.9686$, $f(1.5)=3.7081$, $f(2.5)=3.1225$, $f(3.5)=1.9365$ Donc : $$S_{milieu} = (1.9365 + 3.1225 + 3.7081 + 3.9686 + 3.9686 + 3.7081 + 3.1225 + 1.9365) \times 1 = 25.4714$$ 5. **Méthode des trapèzes avec 8 sous-intervalles :** La formule est : $$S_{trap} = \frac{\Delta x}{2} \left(f(x_0) + 2 \sum_{i=1}^{7} f(x_i) + f(x_8)\right)$$ Calcul : $$S_{trap} = \frac{1}{2} (0 + 2(2.6458 + 3.4641 + 3.8730 + 4 + 3.8730 + 3.4641 + 2.6458) + 0)$$ $$= \frac{1}{2} (2 \times 23.9658) = 23.9658$$ 6. **Valeurs approchées de $\pi$ :** La surface exacte du demi-disque est : $$S = \frac{\pi \times 4^2}{2} = 8\pi$$ Donc : $$\pi \approx \frac{S_{approx}}{8}$$ - Pour $S_{gauche} = 24.9658$, $\pi \approx \frac{24.9658}{8} = 3.1207$ - Pour $S_{droite} = 24.9658$, $\pi \approx 3.1207$ - Pour $S_{milieu} = 25.4714$, $\pi \approx 3.1839$ - Pour $S_{trap} = 23.9658$, $\pi \approx 2.9957$ 7. **Discussion :** Les méthodes des rectangles avec points gauche et droite donnent la même approximation. La méthode du point milieu est plus précise et plus proche de la valeur réelle de $\pi \approx 3.1416$. La méthode des trapèzes sous-estime légèrement la surface. En augmentant le nombre de rectangles, les approximations s'améliorent.