1. **Énoncé du problème :** Calculer la surface du demi-disque de rayon 4 centré en O en utilisant différentes méthodes d'approximation numérique (rectangles et trapèzes) avec 8 sous-intervalles, puis en déduire une valeur approchée de $\pi$. 2. **Équation du cercle :** L'équation cartésienne du cercle de centre $O(0,0)$ et de rayon 4 est : $$x^2 + y^2 = 4^2 = 16$$ 3. **Fonction du demi-cercle supérieur :** La fonction qui décrit le demi-cercle supérieur est : $$y = f(x) = \sqrt{16 - x^2}$$ avec $x \in [-4,4]$. 4. **Méthode des rectangles avec 8 sous-intervalles :** L'intervalle $[-4,4]$ est divisé en 8 sous-intervalles de largeur : $$\Delta x = \frac{4 - (-4)}{8} = 1$$ Les points de subdivision sont : $$x_0 = -4, x_1 = -3, x_2 = -2, x_3 = -1, x_4 = 0, x_5 = 1, x_6 = 2, x_7 = 3, x_8 = 4$$ **a. Point de gauche :** $$S_{gauche} = \sum_{i=0}^{7} f(x_i) \Delta x = \sum_{i=0}^{7} \sqrt{16 - x_i^2} \times 1$$ Calcul des valeurs : $f(-4)=0$, $f(-3)=\sqrt{16-9}=\sqrt{7}\approx 2.6458$, $f(-2)=\sqrt{12}\approx 3.4641$, $f(-1)=\sqrt{15}\approx 3.8730$, $f(0)=4$, $f(1)=3.8730$, $f(2)=3.4641$, $f(3)=2.6458$ Donc : $$S_{gauche} = 0 + 2.6458 + 3.4641 + 3.8730 + 4 + 3.8730 + 3.4641 + 2.6458 = 23.9658$$ **b. Point de droite :** $$S_{droite} = \sum_{i=1}^{8} f(x_i) \Delta x = \sum_{i=1}^{8} \sqrt{16 - x_i^2} \times 1$$ Valeurs : $f(-3)=2.6458$, $f(-2)=3.4641$, $f(-1)=3.8730$, $f(0)=4$, $f(1)=3.8730$, $f(2)=3.4641$, $f(3)=2.6458$, $f(4)=0$ Donc : $$S_{droite} = 2.6458 + 3.4641 + 3.8730 + 4 + 3.8730 + 3.4641 + 2.6458 + 0 = 23.9658$$ **c. Point milieu :** Les points milieux sont : $$x_{i+\frac{1}{2}} = x_i + \frac{\Delta x}{2} = -4 + (i + 0.5) \times 1$$ Donc : $-3.5, -2.5, -1.5, -0.5, 0.5, 1.5, 2.5, 3.5$ Calcul des valeurs : $f(-3.5) = \sqrt{16 - 12.25} = \sqrt{3.75} \approx 1.9365$ $f(-2.5) = \sqrt{16 - 6.25} = \sqrt{9.75} \approx 3.1225$ $f(-1.5) = \sqrt{16 - 2.25} = \sqrt{13.75} \approx 3.7081$ $f(-0.5) = \sqrt{16 - 0.25} = \sqrt{15.75} \approx 3.9686$ $f(0.5) = 3.9686$, $f(1.5) = 3.7081$, $f(2.5) = 3.1225$, $f(3.5) = 1.9365$ Donc : $$S_{milieu} = (1.9365 + 3.1225 + 3.7081 + 3.9686 + 3.9686 + 3.7081 + 3.1225 + 1.9365) \times 1 = 25.4714$$ 5. **Méthode des trapèzes avec 8 sous-intervalles :** Formule : $$S_{trap} = \frac{\Delta x}{2} \left(f(x_0) + 2 \sum_{i=1}^{7} f(x_i) + f(x_8)\right)$$ Calcul intermédiaire : $$2 \sum_{i=1}^{7} f(x_i) = 2(2.6458 + 3.4641 + 3.8730 + 4 + 3.8730 + 3.4641 + 2.6458) = 2 \times 23.9658 = 47.9316$$ Donc : $$S_{trap} = \frac{1}{2} (0 + 47.9316 + 0) = 23.9658$$ 6. **Valeurs approchées de $\pi$ :** La surface exacte du demi-disque est : $$S = \frac{\pi \times 4^2}{2} = 8\pi$$ Donc : $$\pi \approx \frac{S_{approx}}{8}$$ - Pour $S_{gauche} = 23.9658$, $\pi \approx \frac{23.9658}{8} = 2.9957$ - Pour $S_{droite} = 23.9658$, $\pi \approx 2.9957$ - Pour $S_{milieu} = 25.4714$, $\pi \approx 3.1839$ - Pour $S_{trap} = 23.9658$, $\pi \approx 2.9957$ 7. **Discussion :** Les méthodes des points gauche, droite et trapèzes donnent la même approximation, légèrement inférieure à la valeur réelle de $\pi \approx 3.1416$. La méthode du point milieu est plus précise et donne une valeur plus proche de $\pi$. Cela illustre que la méthode du point milieu est souvent plus précise pour l'approximation d'intégrales sur des fonctions régulières.