1. **Planteamiento del problema:** Se tiene la velocidad de crecimiento de la población de peces dada por $$P'(t) = 300 \cdot \sin\left(\frac{\pi t}{6}\right)$$ donde $t$ es el tiempo en meses. 2. **a. Incremento de la población en los primeros 4 meses:** El incremento de población es la integral de la velocidad de crecimiento entre $t=0$ y $t=4$: $$\Delta P = \int_0^4 300 \sin\left(\frac{\pi t}{6}\right) dt$$ 3. **Cálculo de la integral:** Usamos la fórmula $$\int \sin(ax) dx = -\frac{1}{a} \cos(ax) + C$$ con $a=\frac{\pi}{6}$: $$\int 300 \sin\left(\frac{\pi t}{6}\right) dt = 300 \cdot \left(-\frac{6}{\pi}\right) \cos\left(\frac{\pi t}{6}\right) + C = -\frac{1800}{\pi} \cos\left(\frac{\pi t}{6}\right) + C$$ 4. **Evaluamos la integral definida:** $$\Delta P = \left[-\frac{1800}{\pi} \cos\left(\frac{\pi t}{6}\right)\right]_0^4 = -\frac{1800}{\pi} \left(\cos\left(\frac{4\pi}{6}\right) - \cos(0)\right)$$ 5. **Simplificamos los cosenos:** $$\cos\left(\frac{4\pi}{6}\right) = \cos\left(\frac{2\pi}{3}\right) = -\frac{1}{2}, \quad \cos(0) = 1$$ 6. **Sustituimos y calculamos:** $$\Delta P = -\frac{1800}{\pi} \left(-\frac{1}{2} - 1\right) = -\frac{1800}{\pi} \left(-\frac{3}{2}\right) = \frac{2700}{\pi} \approx 859.44$$ **Respuesta a a:** El incremento de la población en los primeros 4 meses es aproximadamente 859 peces. --- 7. **b. Modelo para la población $P(t)$ con población inicial $P(0)=2400$:** Sabemos que $$P'(t) = 300 \sin\left(\frac{\pi t}{6}\right)$$ Entonces, $$P(t) = \int P'(t) dt = -\frac{1800}{\pi} \cos\left(\frac{\pi t}{6}\right) + C$$ Usamos la condición inicial $P(0) = 2400$: $$P(0) = -\frac{1800}{\pi} \cos(0) + C = -\frac{1800}{\pi} + C = 2400$$ 8. **Despejamos $C$:** $$C = 2400 + \frac{1800}{\pi}$$ 9. **Modelo final:** $$P(t) = -\frac{1800}{\pi} \cos\left(\frac{\pi t}{6}\right) + 2400 + \frac{1800}{\pi}$$ --- 10. **c. Población después del primer año ($t=12$ meses):** Evaluamos $P(12)$: $$P(12) = -\frac{1800}{\pi} \cos\left(\frac{\pi \cdot 12}{6}\right) + 2400 + \frac{1800}{\pi} = -\frac{1800}{\pi} \cos(2\pi) + 2400 + \frac{1800}{\pi}$$ 11. **Como $\cos(2\pi) = 1$:** $$P(12) = -\frac{1800}{\pi} (1) + 2400 + \frac{1800}{\pi} = 2400$$ **Respuesta a c:** La población después de un año es 2400 peces. --- 12. **d. Máxima población después del primer año:** La función $P(t)$ tiene máximos cuando $\cos\left(\frac{\pi t}{6}\right)$ es mínimo, es decir cuando $\cos$ es $-1$. Esto ocurre en $t=6, 18, 30, ...$ meses. 13. **Evaluamos $P(6)$:** $$P(6) = -\frac{1800}{\pi} \cos\left(\frac{\pi \cdot 6}{6}\right) + 2400 + \frac{1800}{\pi} = -\frac{1800}{\pi} \cos(\pi) + 2400 + \frac{1800}{\pi}$$ 14. **Como $\cos(\pi) = -1$:** $$P(6) = -\frac{1800}{\pi} (-1) + 2400 + \frac{1800}{\pi} = \frac{1800}{\pi} + 2400 + \frac{1800}{\pi} = 2400 + \frac{3600}{\pi} \approx 2400 + 1145.92 = 3545.92$$ **Respuesta a d:** La máxima población después del primer año es aproximadamente 3546 peces. --- 15. **e. Velocidad máxima de crecimiento en los dos primeros años:** La velocidad de crecimiento es $$P'(t) = 300 \sin\left(\frac{\pi t}{6}\right)$$ El valor máximo de $\sin$ es 1, por lo que la velocidad máxima es: $$\max P'(t) = 300 \cdot 1 = 300$$ **Respuesta a e:** La velocidad máxima de crecimiento es 300 peces por mes. --- 16. **f. Interpretación de velocidad nula y momentos en los primeros 6 meses:** La velocidad de crecimiento es nula cuando: $$P'(t) = 300 \sin\left(\frac{\pi t}{6}\right) = 0 \implies \sin\left(\frac{\pi t}{6}\right) = 0$$ Esto ocurre cuando: $$\frac{\pi t}{6} = k\pi \implies t = 6k, \quad k=0,1,2,...$$ En los primeros 6 meses, $t=0$ y $t=6$ son los momentos donde la velocidad es nula. **Interpretación:** La población no crece ni decrece en esos instantes, es decir, la tasa de cambio es cero. Esto es posible y ocurre al inicio y al sexto mes. --- **Resumen:** - a) Incremento en 4 meses: aproximadamente 859 peces. - b) Modelo: $$P(t) = -\frac{1800}{\pi} \cos\left(\frac{\pi t}{6}\right) + 2400 + \frac{1800}{\pi}$$ - c) Población a 12 meses: 2400 peces. - d) Máxima población después del primer año: aproximadamente 3546 peces. - e) Velocidad máxima de crecimiento: 300 peces/mes. - f) Velocidad nula en $t=0$ y $t=6$ meses, interpretando momentos sin crecimiento ni decrecimiento.