1. Planteamos el problema: La tasa de crecimiento de la población de bacterias está dada por la función $$\frac{dP}{dt} = 4 + \frac{5t^2}{3}$$ donde $P$ es la población y $t$ el tiempo en días. 2. La población inicial es $P(0) = 10000$. 3. Para encontrar la población después de 10 días, integramos la tasa de crecimiento para obtener $P(t)$: $$P(t) = \int \left(4 + \frac{5t^2}{3}\right) dt + C$$ 4. Integramos término a término: $$\int 4 dt = 4t$$ $$\int \frac{5t^2}{3} dt = \frac{5}{3} \cdot \frac{t^3}{3} = \frac{5t^3}{9}$$ 5. Por lo tanto: $$P(t) = 4t + \frac{5t^3}{9} + C$$ 6. Usamos la condición inicial $P(0) = 10000$ para encontrar $C$: $$10000 = 4 \cdot 0 + \frac{5 \cdot 0^3}{9} + C \Rightarrow C = 10000$$ 7. La función población es: $$P(t) = 4t + \frac{5t^3}{9} + 10000$$ 8. Evaluamos en $t=10$ días: $$P(10) = 4 \cdot 10 + \frac{5 \cdot 10^3}{9} + 10000 = 40 + \frac{5 \cdot 1000}{9} + 10000 = 40 + \frac{5000}{9} + 10000$$ 9. Simplificamos: $$\frac{5000}{9} = 555.555...$$ $$P(10) = 40 + 555.555... + 10000 = 10595.555...$$ 10. Redondeando, la población dentro de 10 días será aproximadamente $10596$ individuos.