1. Planteamos el problema: calcular la integral $$\int_{1}^{4} \frac{1}{\sqrt{x^2 - 6x + 25}} \, dx$$. 2. Completamos el cuadrado en el denominador para simplificar la expresión: $$x^2 - 6x + 25 = (x^2 - 6x + 9) + 25 - 9 = (x-3)^2 + 16$$ 3. Reescribimos la integral usando esta forma: $$\int_{1}^{4} \frac{1}{\sqrt{(x-3)^2 + 16}} \, dx$$ 4. Usamos la sustitución trigonométrica: sea $$x-3 = 4\tan(\theta)$$, entonces $$dx = 4\sec^2(\theta) d\theta$$. 5. Calculamos los nuevos límites de integración: - Cuando $$x=1$$, $$\tan(\theta) = \frac{1-3}{4} = -\frac{1}{2}$$, así $$\theta = \arctan(-\frac{1}{2})$$. - Cuando $$x=4$$, $$\tan(\theta) = \frac{4-3}{4} = \frac{1}{4}$$, así $$\theta = \arctan(\frac{1}{4})$$. 6. Simplificamos la raíz: $$\sqrt{(x-3)^2 + 16} = \sqrt{16\tan^2(\theta) + 16} = 4\sec(\theta)$$ 7. Sustituimos en la integral: $$\int_{\arctan(-\frac{1}{2})}^{\arctan(\frac{1}{4})} \frac{4\sec^2(\theta)}{4\sec(\theta)} d\theta = \int_{\arctan(-\frac{1}{2})}^{\arctan(\frac{1}{4})} \sec(\theta) d\theta$$ 8. Evaluamos la integral de $$\sec(\theta)$$: $$\int \sec(\theta) d\theta = \ln|\sec(\theta) + \tan(\theta)| + C$$ 9. Aplicamos los límites: $$\ln|\sec(\arctan(\frac{1}{4})) + \tan(\arctan(\frac{1}{4}))| - \ln|\sec(\arctan(-\frac{1}{2})) + \tan(\arctan(-\frac{1}{2}))|$$ 10. Calculamos $$\sec(\theta)$$ para cada $$\tan(\theta)$$: - Para $$\tan(\theta) = \frac{1}{4}$$, $$\sec(\theta) = \sqrt{1 + \tan^2(\theta)} = \frac{\sqrt{17}}{4}$$. - Para $$\tan(\theta) = -\frac{1}{2}$$, $$\sec(\theta) = \frac{\sqrt{5}}{2}$$. 11. Simplificamos la expresión: $$\ln\left(\frac{\sqrt{17}+1}{4}\right) - \ln\left(\frac{\sqrt{5}-1}{2}\right) = \ln\left(\frac{(\sqrt{17}+1)(\sqrt{5}+1)}{8}\right) = \ln\left(\frac{\sqrt{85} + \sqrt{17} + \sqrt{5} + 1}{8}\right)$$ Respuesta final: $$\boxed{\ln\left(\frac{\sqrt{85} + \sqrt{17} + \sqrt{5} + 1}{8}\right)}$$