1. El problema consiste en analizar la función vectorial paramétrica $$\vec{r}(t) = \frac{1+t^2}{1-t^2} \vec{i} + \frac{1}{1-e^t} \vec{j} + \left(\sqrt{\frac{16}{t}} - t\right) \vec{k}$$. 2. Para entender esta función, debemos estudiar cada componente por separado: la componente en $$\vec{i}$$ es $$\frac{1+t^2}{1-t^2}$$, en $$\vec{j}$$ es $$\frac{1}{1-e^t}$$ y en $$\vec{k}$$ es $$\sqrt{\frac{16}{t}} - t$$. 3. Observamos que hay restricciones en el dominio de $$t$$: para $$\vec{i}$$, el denominador $$1-t^2$$ no puede ser cero, por lo que $$t \neq \pm 1$$. 4. Para $$\vec{j}$$, el denominador $$1-e^t$$ no puede ser cero, entonces $$e^t \neq 1$$, lo que implica $$t \neq 0$$. 5. Para $$\vec{k}$$, la expresión $$\sqrt{\frac{16}{t}}$$ requiere que $$t > 0$$ para que la raíz cuadrada sea real. 6. Por lo tanto, el dominio válido para $$t$$ es $$t > 0$$ y $$t \neq 1$$. 7. No se pide simplificación ni evaluación numérica, sino entender la función vectorial y sus componentes. 8. Esta función describe una curva en el espacio 3D con coordenadas $$x(t) = \frac{1+t^2}{1-t^2}$$, $$y(t) = \frac{1}{1-e^t}$$ y $$z(t) = \sqrt{\frac{16}{t}} - t$$. Respuesta final: La función vectorial $$\vec{r}(t)$$ está definida para $$t > 0$$ y $$t \neq 1$$, con las componentes dadas y restricciones indicadas.