1. Problem 1.2: Berechnen Sie den Wert des Integrals $$\int_{-1}^{1} (5x^4 + 1) \, dx$$. 2. Formel: Das Integral einer Summe ist die Summe der Integrale, also $$\int (a f(x) + b g(x)) \, dx = a \int f(x) \, dx + b \int g(x) \, dx$$. 3. Berechnung der einzelnen Integrale: $$\int_{-1}^{1} 5x^4 \, dx = 5 \int_{-1}^{1} x^4 \, dx$$ und $$\int_{-1}^{1} 1 \, dx$$. 4. Berechnung von $$\int_{-1}^{1} x^4 \, dx$$: Da $$x^4$$ eine gerade Funktion ist, gilt $$\int_{-1}^{1} x^4 \, dx = 2 \int_0^{1} x^4 \, dx$$. 5. Berechnung: $$\int_0^{1} x^4 \, dx = \left[ \frac{x^5}{5} \right]_0^{1} = \frac{1^5}{5} - 0 = \frac{1}{5}$$. 6. Somit: $$\int_{-1}^{1} x^4 \, dx = 2 \times \frac{1}{5} = \frac{2}{5}$$. 7. Dann: $$\int_{-1}^{1} 5x^4 \, dx = 5 \times \frac{2}{5} = 2$$. 8. Berechnung von $$\int_{-1}^{1} 1 \, dx$$: $$\int_{-1}^{1} 1 \, dx = [x]_{-1}^{1} = 1 - (-1) = 2$$. 9. Endergebnis: $$\int_{-1}^{1} (5x^4 + 1) \, dx = 2 + 2 = 4$$. --- 1. Problem 1.3: Lösen Sie das lineare Gleichungssystem: $$\begin{cases} 2x_1 + x_2 - x_3 = 1 \\ x_1 - 2x_2 + x_3 = 0 \\ 3x_1 + 2x_2 - 2x_3 = 1 \end{cases}$$ 2. Wir verwenden das Additionsverfahren. 3. Addiere die erste und zweite Gleichung: $$ (2x_1 + x_2 - x_3) + (x_1 - 2x_2 + x_3) = 1 + 0 $$ $$ 3x_1 - x_2 = 1 $$ 4. Bezeichne diese Gleichung als (4): $$ 3x_1 - x_2 = 1 $$ 5. Multipliziere Gleichung (2) mit 2: $$ 2x_1 - 4x_2 + 2x_3 = 0 $$ 6. Subtrahiere diese von Gleichung (3): $$ (3x_1 + 2x_2 - 2x_3) - (2x_1 - 4x_2 + 2x_3) = 1 - 0 $$ $$ x_1 + 6x_2 - 4x_3 = 1 $$ 7. Bezeichne diese Gleichung als (5): $$ x_1 + 6x_2 - 4x_3 = 1 $$ 8. Löse Gleichung (4) nach $$x_2$$ auf: $$ 3x_1 - x_2 = 1 \Rightarrow x_2 = 3x_1 - 1 $$ 9. Setze $$x_2$$ in Gleichung (5) ein: $$ x_1 + 6(3x_1 - 1) - 4x_3 = 1 $$ $$ x_1 + 18x_1 - 6 - 4x_3 = 1 $$ $$ 19x_1 - 4x_3 = 7 $$ 10. Löse nach $$x_3$$ auf: $$ 19x_1 - 4x_3 = 7 \Rightarrow -4x_3 = 7 - 19x_1 \Rightarrow x_3 = \frac{19x_1 - 7}{4} $$ 11. Setze $$x_2$$ und $$x_3$$ in Gleichung (1) ein: $$ 2x_1 + x_2 - x_3 = 1 $$ $$ 2x_1 + (3x_1 - 1) - \frac{19x_1 - 7}{4} = 1 $$ 12. Multipliziere alle Terme mit 4, um den Bruch zu eliminieren: $$ 4(2x_1) + 4(3x_1 - 1) - (19x_1 - 7) = 4(1) $$ $$ 8x_1 + 12x_1 - 4 - 19x_1 + 7 = 4 $$ 13. Fasse zusammen: $$ (8x_1 + 12x_1 - 19x_1) + (-4 + 7) = 4 $$ $$ 1x_1 + 3 = 4 $$ 14. Löse nach $$x_1$$ auf: $$ x_1 = 4 - 3 = 1 $$ 15. Berechne $$x_2$$: $$ x_2 = 3(1) - 1 = 2 $$ 16. Berechne $$x_3$$: $$ x_3 = \frac{19(1) - 7}{4} = \frac{12}{4} = 3 $$ 17. Lösung: $$ (x_1, x_2, x_3) = (1, 2, 3) $$