1. **Δίνεται το πρόβλημα:** Να δείξουμε ότι η παράγωγος της συνάρτησης $f(x) = e^x + \frac{x^2}{2} - x - 1$ είναι αντιστρέψιμη και να βρούμε το πεδίο ορισμού της αντίστροφης $(f')^{-1}$.\n\n2. **Υπολογισμός της παραγώγου $f'(x)$:**\n$$f'(x) = \frac{d}{dx}\left(e^x + \frac{x^2}{2} - x - 1\right) = e^x + x - 1$$\n\n3. **Έλεγχος μονοτονίας της $f'(x)$ για αντιστρεψιμότητα:**\nΥπολογίζουμε τη δεύτερη παράγωγο $f''(x)$:\n$$f''(x) = \frac{d}{dx}(f'(x)) = \frac{d}{dx}(e^x + x - 1) = e^x + 1$$\n\n4. **Παρατήρηση:**\nΗ $f''(x) = e^x + 1 > 0$ για κάθε $x \in \mathbb{R}$, αφού $e^x > 0$ πάντα.\n\n5. **Συμπέρασμα:**\nΕπειδή $f''(x) > 0$ για κάθε $x$, η $f'(x)$ είναι γνησίως αύξουσα συνάρτηση. Άρα, η $f'(x)$ είναι αντιστρέψιμη.\n\n6. **Πεδίο ορισμού της $f'(x)$:**\nΗ $f'(x) = e^x + x - 1$ ορίζεται για κάθε $x \in \mathbb{R}$.\n\n7. **Πεδίο τιμών της $f'(x)$ (που είναι το πεδίο ορισμού της αντίστροφης $(f')^{-1}$):**\nΕξετάζουμε το όριο στα άκρα:\n$$\lim_{x \to -\infty} f'(x) = \lim_{x \to -\infty} (e^x + x - 1) = 0 + (-\infty) - 1 = -\infty$$\n$$\lim_{x \to +\infty} f'(x) = \lim_{x \to +\infty} (e^x + x - 1) = +\infty + \infty - 1 = +\infty$$\n\nΕπειδή $f'(x)$ είναι συνεχής και γνησίως αύξουσα, το πεδίο τιμών της είναι $\mathbb{R}$.\n\nΆρα, το πεδίο ορισμού της αντίστροφης $(f')^{-1}$ είναι $\mathbb{R}$.\n\n**Τελικό αποτέλεσμα:**\nΗ $f'(x) = e^x + x - 1$ είναι αντιστρέψιμη με πεδίο ορισμού $\mathbb{R}$ και το πεδίο ορισμού της αντίστροφης $(f')^{-1}$ είναι επίσης $\mathbb{R}$.