1. Το πρόβλημα ζητά να κατανοήσουμε γιατί η παράγωγος της συνάρτησης $f(x) = e^{x^2+3x}$ υπολογίζεται με τον τρόπο που δίνεται. 2. Η συνάρτηση είναι σύνθετη, δηλαδή έχουμε μια εξωτερική συνάρτηση $e^u$ όπου $u = x^2 + 3x$ είναι η εσωτερική. 3. Ο κανόνας αλυσίδας λέει ότι η παράγωγος μιας σύνθετης συνάρτησης $f(g(x))$ είναι: $$\frac{d}{dx}f(g(x)) = f'(g(x)) \cdot g'(x)$$ 4. Εδώ, $f(u) = e^u$ και $g(x) = x^2 + 3x$. 5. Η παράγωγος της εξωτερικής συνάρτησης ως προς $u$ είναι: $$\frac{d}{du} e^u = e^u$$ 6. Η παράγωγος της εσωτερικής συνάρτησης ως προς $x$ είναι: $$\frac{d}{dx} (x^2 + 3x) = 2x + 3$$ 7. Εφαρμόζοντας τον κανόνα αλυσίδας: $$\frac{d}{dx} e^{x^2 + 3x} = e^{x^2 + 3x} \cdot (2x + 3)$$ 8. Συνοψίζοντας, η παράγωγος υπολογίζεται πολλαπλασιάζοντας την παράγωγο της εξωτερικής συνάρτησης με την παράγωγο της εσωτερικής, όπως απαιτεί ο κανόνας αλυσίδας.