1. مسئله: در روش انتگرال‌گیری جزء به جزء، هدف یافتن انتگرال تابعی است که به صورت حاصل‌ضرب دو تابع نوشته شده است. 2. فرمول اصلی: $$\int u \, dv = uv - \int v \, du$$ 3. انتخاب $u$ و $dv$ بسیار مهم است. معمولاً $u$ تابعی انتخاب می‌شود که با مشتق گرفتن ساده‌تر شود و $dv$ تابعی است که انتگرال آن به راحتی محاسبه می‌شود. 4. قانون LIATE برای انتخاب $u$ کمک می‌کند: Logarithmic, Inverse trigonometric, Algebraic, Trigonometric, Exponential. تابعی که در این ترتیب زودتر قرار دارد، بهتر است $u$ باشد. 5. پس از انتخاب $u$ و $dv$، مشتق $u$ را به دست می‌آوریم ($du$) و انتگرال $dv$ را محاسبه می‌کنیم ($v$). 6. سپس فرمول را جایگذاری کرده و انتگرال جدید را حل می‌کنیم. 7. مثال: برای انتگرال $$\int x e^x dx$$ انتخاب می‌کنیم $u = x$ (چون جبری است) و $dv = e^x dx$ (چون انتگرالش ساده است). 8. مشتق $u$: $$du = dx$$ و انتگرال $dv$: $$v = e^x$$ 9. جایگذاری در فرمول: $$\int x e^x dx = x e^x - \int e^x dx = x e^x - e^x + C$$ 10. نتیجه نهایی: $$\int x e^x dx = e^x (x - 1) + C$$