1. نبدأ بكتابة المعطيات: التكامل $ \int q(x) \sin x \, dx = e^{1 - x^2} + 4e $ و $ q(a) = -2a $. المطلوب إيجاد قيمة $ a $. 2. نلاحظ أن التكامل يحتوي على دالة $ q(x) $ مضروبة في $ \sin x $. لنفترض أن $ q(x) = f(x) $ ونستخدم قاعدة التكامل بالتجزئة أو نبحث عن دالة $ q(x) $ تحقق التكامل المعطى. 3. نشتق الطرف الأيمن بالنسبة إلى $ x $ لنجد $ q(x) \sin x $: $$ \frac{d}{dx} \left( e^{1 - x^2} + 4e \right) = \frac{d}{dx} e^{1 - x^2} + \frac{d}{dx} 4e = e^{1 - x^2} \cdot (-2x) + 0 = -2x e^{1 - x^2} $$ 4. إذن: $$ q(x) \sin x = -2x e^{1 - x^2} $$ 5. لحساب $ q(x) $: $$ q(x) = \frac{-2x e^{1 - x^2}}{\sin x} $$ 6. نعلم أن $ q(a) = -2a $، إذن: $$ -2a = \frac{-2a e^{1 - a^2}}{\sin a} $$ 7. نبسط المعادلة: $$ -2a = -2a \cdot \frac{e^{1 - a^2}}{\sin a} $$ 8. إذا كان $ a \neq 0 $ يمكننا قسمة الطرفين على $ -2a $: $$ 1 = \frac{e^{1 - a^2}}{\sin a} $$ 9. إذن: $$ \sin a = e^{1 - a^2} $$ 10. نبحث عن قيمة $ a $ التي تحقق المعادلة $ \sin a = e^{1 - a^2} $. 11. نلاحظ أن $ e^{1 - a^2} > 0 $ دائماً، و $ \sin a $ يتراوح بين -1 و 1. 12. نجرب $ a = 1 $: $$ \sin 1 \approx 0.8415 $$ $$ e^{1 - 1^2} = e^{0} = 1 $$ غير متساويين. 13. نجرب $ a = 0 $: $$ \sin 0 = 0 $$ $$ e^{1 - 0} = e^{1} \approx 2.718 $$ غير متساويين. 14. نجرب $ a = \frac{\pi}{2} \approx 1.5708 $: $$ \sin \frac{\pi}{2} = 1 $$ $$ e^{1 - (\frac{\pi}{2})^2} = e^{1 - 2.4674} = e^{-1.4674} \approx 0.230 $$ غير متساويين. 15. نجرب $ a = 0.7 $: $$ \sin 0.7 \approx 0.644 $$ $$ e^{1 - 0.49} = e^{0.51} \approx 1.665 $$ غير متساويين. 16. نجرب $ a = 1.2 $: $$ \sin 1.2 \approx 0.932 \) $$ e^{1 - 1.44} = e^{-0.44} \approx 0.644 $$ غير متساويين. 17. نلاحظ أن $ \sin a $ يقل ببطء بعد $ a=1 $ و $ e^{1 - a^2} $ يقل بسرعة. 18. الحل التقريبي هو $ a \approx 1 $ حيث تكون القيمتين متقاربة. النتيجة النهائية: $$ a \approx 1 $$