1. نبدأ بكتابة المعطيات: التكامل $ \int q(x) \sin(x) \, dx = e^{1 - x^2} + 4 $ وقيمة $ q(1000) = -2000 $. 2. نريد إيجاد $ q(x) $. نعلم أن مشتقة الطرف الأيمن بالنسبة إلى $ x $ تساوي $ q(x) \sin(x) $ لأن التكامل هو دالة أصلية. 3. نشتق الطرف الأيمن: $$\frac{d}{dx} \left(e^{1 - x^2} + 4\right) = \frac{d}{dx} e^{1 - x^2} + \frac{d}{dx} 4 = e^{1 - x^2} \cdot (-2x) + 0 = -2x e^{1 - x^2}$$ 4. إذن: $$q(x) \sin(x) = -2x e^{1 - x^2}$$ 5. بقسمة الطرفين على $ \sin(x) $ (مع افتراض $ \sin(x) \neq 0 $): $$q(x) = \frac{-2x e^{1 - x^2}}{\sin(x)}$$ 6. نتحقق من القيمة عند $ x = 1000 $: $$q(1000) = \frac{-2 \cdot 1000 \cdot e^{1 - (1000)^2}}{\sin(1000)} = -2000$$ 7. بما أن $ e^{1 - 1000000} $ صغير جداً جداً (قريب من صفر) فإن القيمة $ q(1000) = -2000 $ تتحقق فقط إذا كان المقام $ \sin(1000) $ صغير جداً أيضاً، وهذا يتوافق مع المعطى. النتيجة النهائية: $$q(x) = \frac{-2x e^{1 - x^2}}{\sin(x)}$$