1. نبدأ بكتابة الدالة المعطاة: $$f(x) = x^2 \times \sin\left(\frac{1}{x^2}\right)$$ 2. نريد حساب مشتقة الدالة $f(x)$، وهي دالة حاصل ضرب بين دالتين: $u(x) = x^2$ و $v(x) = \sin\left(\frac{1}{x^2}\right)$. 3. نستخدم قاعدة مشتقة حاصل الضرب: $$f'(x) = u'(x) v(x) + u(x) v'(x)$$ 4. نحسب مشتقة $u(x)$: $$u'(x) = 2x$$ 5. نحسب مشتقة $v(x)$ باستخدام قاعدة السلسلة: - الدالة الداخلية: $$g(x) = \frac{1}{x^2} = x^{-2}$$ - مشتقة $g(x)$: $$g'(x) = -2x^{-3} = -\frac{2}{x^3}$$ - مشتقة $v(x)$: $$v'(x) = \cos\left(\frac{1}{x^2}\right) \times g'(x) = \cos\left(\frac{1}{x^2}\right) \times \left(-\frac{2}{x^3}\right) = -\frac{2}{x^3} \cos\left(\frac{1}{x^2}\right)$$ 6. نعوض في قاعدة حاصل الضرب: $$f'(x) = 2x \times \sin\left(\frac{1}{x^2}\right) + x^2 \times \left(-\frac{2}{x^3} \cos\left(\frac{1}{x^2}\right)\right)$$ 7. نبسط الحد الثاني: $$x^2 \times \left(-\frac{2}{x^3} \cos\left(\frac{1}{x^2}\right)\right) = -2 \cancel{x^2} \times \frac{1}{\cancel{x^3}} \cos\left(\frac{1}{x^2}\right) = -\frac{2}{x} \cos\left(\frac{1}{x^2}\right)$$ 8. إذن المشتقة النهائية هي: $$f'(x) = 2x \sin\left(\frac{1}{x^2}\right) - \frac{2}{x} \cos\left(\frac{1}{x^2}\right)$$ هذه هي مشتقة الدالة $f(x)$.