1. **مشكلة (7): قياس الزاوية التي يصنعها المماس للمنحنى** المطلوب: إيجاد قياس الزاوية التي يصنعها المماس لمنحنى الدالة $$ص = س^3 + 4س + 2$$ عند $$س = \frac{1}{3}$$ مع اتجاه موجب لمحور السينات. 2. **صيغة المماس**: ميل المماس عند نقطة معينة هو مشتقة الدالة عند تلك النقطة: $$\frac{dص}{dس} = 3س^2 + 4$$ 3. **حساب الميل عند $$س = \frac{1}{3}$$**: $$m = 3\left(\frac{1}{3}\right)^2 + 4 = 3\times \frac{1}{9} + 4 = \frac{1}{3} + 4 = \frac{13}{3}$$ 4. **حساب قياس الزاوية $$\theta$$ التي يصنعها المماس مع محور السينات**: $$\tan(\theta) = m = \frac{13}{3}$$ 5. **إيجاد الزاوية $$\theta$$**: $$\theta = \arctan\left(\frac{13}{3}\right)$$ نحوّل القيمة إلى درجات تقريباً: $$\theta \approx 76.3^\circ$$ 6. **اختيار أقرب قيمة من الخيارات المعطاة**: الزاوية الأقرب هي 75 درجة. --- 7. **مشكلة (8): إيجاد قيمة $$أ$$ بحيث يكون $$س=1$$ نقطة انقلاب للدالة $$د(س) = أ س^3 - 3 س^2$$** 8. **صيغة نقطة الانقلاب**: نقطة الانقلاب تحدث عندما تكون المشتقة الثانية تساوي صفر وتغير الإشارة حولها. 9. **حساب المشتقة الأولى**: $$د'(س) = 3أ س^2 - 6س$$ 10. **حساب المشتقة الثانية**: $$د''(س) = 6أ س - 6$$ 11. **نفرض أن $$س=1$$ نقطة انقلاب، إذن:** $$د''(1) = 6أ(1) - 6 = 0$$ 12. **حل المعادلة لإيجاد $$أ$$**: $$6أ - 6 = 0$$ $$6أ = 6$$ $$أ = 1$$ **النتائج النهائية:** - قياس الزاوية للمماس عند $$س=\frac{1}{3}$$ هو تقريباً 75 درجة. - قيمة $$أ$$ التي تجعل $$س=1$$ نقطة انقلاب هي 1.