1. نبدأ بقراءة السؤال الأول: تحديد نقطة الانقلاب للمنحنى د(س). 2. نقطة الانقلاب هي النقطة التي يتغير عندها تقعر المنحنى، أي حيث يتغير إشارة المشتقة الثانية. 3. بالنظر إلى الخيارات: أ) صفر، ب) -3، ج) 4، د) كل ما سبق. 4. من الشكل المعطى (وهو غير واضح هنا لكن بناءً على السؤال)، نقطة الانقلاب تكون عند س = 0. 5. إذن الإجابة الصحيحة للسؤال الأول هي: صفر. 6. ننتقل للسؤال الثاني: القيمة العظمى المحلية للمنحنى ص = ما س (1 + هما س) حيث س ∈ [0, \frac{\pi}{2}]. 7. لحساب القيمة العظمى المحلية، نوجد المشتقة الأولى ونساويها بالصفر: $$ ص = ما س (1 + هما س) = \sin x (1 + \cos x) $$ 8. مشتقة ص: $$ \frac{dص}{dx} = \cos x (1 + \cos x) + \sin x (-\sin x) = \cos x + \cos^2 x - \sin^2 x $$ 9. باستخدام الهوية \sin^2 x + \cos^2 x = 1، نحصل: $$ \frac{dص}{dx} = \cos x + \cos^2 x - (1 - \cos^2 x) = \cos x + \cos^2 x - 1 + \cos^2 x = \cos x + 2\cos^2 x - 1 $$ 10. نساوي المشتقة بالصفر لإيجاد النقاط الحرجة: $$ \cos x + 2\cos^2 x - 1 = 0 $$ 11. نضع \cos x = t: $$ t + 2t^2 - 1 = 0 \Rightarrow 2t^2 + t - 1 = 0 $$ 12. نحل المعادلة التربيعية: $$ t = \frac{-1 \pm \sqrt{1 + 8}}{4} = \frac{-1 \pm 3}{4} $$ 13. الجذور: $$ t_1 = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}, \quad t_2 = \frac{-4}{4} = -1 $$ 14. \cos x = \frac{1}{2} تعني: $$ x = \frac{\pi}{3} \quad \text{ضمن الفترة } [0, \frac{\pi}{2}] $$ 15. \cos x = -1 خارج الفترة المعطاة. 16. نحسب ص عند \frac{\pi}{3}: $$ ص = \sin \frac{\pi}{3} (1 + \cos \frac{\pi}{3}) = \frac{\sqrt{3}}{2} (1 + \frac{1}{2}) = \frac{\sqrt{3}}{2} \times \frac{3}{2} = \frac{3\sqrt{3}}{4} $$ 17. إذن القيمة العظمى المحلية هي \frac{3\sqrt{3}}{4}. 18. الإجابة الصحيحة للسؤال الثاني هي: ب) \frac{3}{4} \sqrt{3}. النتيجة النهائية: - نقطة الانقلاب عند س = 0. - القيمة العظمى المحلية هي \frac{3\sqrt{3}}{4}.