1. **Probleemstelling:** We bekijken de grafiek van de afgeleide functie $f'(x)$ en moeten de mogelijke buigpunten, extrema en het verloop van de originele functie $f(x)$ bepalen. 2. **Belangrijke regels:** - Buigpunten van $f(x)$ zijn punten waar de tweede afgeleide $f''(x)$ verandert van teken. Omdat $f''(x) = (f'(x))'$, zijn buigpunten van $f(x)$ de extrema van $f'(x)$. - Extrema van $f(x)$ zijn punten waar $f'(x) = 0$ en de afgeleide verandert van teken. - Het verloop van $f(x)$ wordt bepaald door het teken van $f'(x)$ (stijgen als $f'(x)>0$, dalen als $f'(x)<0$) en de concaviteit door het teken van $f''(x)$ (hol als $f''(x)>0$, bol als $f''(x)<0$). 3. **(a) Buigpunten van $f(x)$:** - Buigpunten zijn de extrema van $f'(x)$. - Uit de grafiek van $f'(x)$ zien we lokale maxima en minima ongeveer bij $x \approx -2$ en $x \approx 2$. - Dus mogelijke buigpunten van $f(x)$ zijn bij $x \approx -2$ en $x \approx 2$. 4. **(b) Extrema van $f(x)$:** - Extrema van $f(x)$ zijn de nulpunten van $f'(x)$ waar $f'(x)$ van teken verandert. - Uit de grafiek van $f'(x)$ schatten we de nulpunten ongeveer bij $x \approx -4$, $x \approx 0$, en $x \approx 3.5$. - Controleer tekenverandering van $f'(x)$ bij deze punten: - Bij $x \approx -4$: $f'(x)$ gaat van negatief naar positief, dus minimum van $f(x)$. - Bij $x \approx 0$: $f'(x)$ gaat van positief naar negatief, dus maximum van $f(x)$. - Bij $x \approx 3.5$: $f'(x)$ gaat van negatief naar positief, dus minimum van $f(x)$. 5. **(c) Verloopschema van $f(x)$:** - Interval $(-\infty, -4)$: $f'(x)<0$ dus $f(x)$ daalt. - Interval $(-4, 0)$: $f'(x)>0$ dus $f(x)$ stijgt. - Interval $(0, 3.5)$: $f'(x)<0$ dus $f(x)$ daalt. - Interval $(3.5, \infty)$: $f'(x)>0$ dus $f(x)$ stijgt. - Concaviteit (hol/bol): - Voor $x < -2$: $f'(x)$ daalt, dus $f''(x) < 0$ (bol). - Tussen $-2$ en $2$: $f'(x)$ stijgt, dus $f''(x) > 0$ (hol). - Voor $x > 2$: $f'(x)$ daalt, dus $f''(x) < 0$ (bol). **Samenvatting:** - Buigpunten $f(x)$ bij $x \approx -2$ en $x \approx 2$. - Extrema $f(x)$ bij $x \approx -4$ (min), $x \approx 0$ (max), $x \approx 3.5$ (min). - Verloop $f(x)$: daalt, stijgt, daalt, stijgt met concaviteit bol, hol, bol respectievelijk.