1. نبدأ بتحديد المشكلة: المطلوب هو إيجاد الزاوية بين السطحين المعطيين عند النقطة $(1,-2,1)$. السطحان هما: $$xy^2z = 3x + z^2$$ $$3x^2 - y^2 + 2z = 1$$ 2. لإيجاد الزاوية بين السطحين عند نقطة معينة، نحتاج إلى إيجاد متجهات النواقل العمودية (normal vectors) لكل سطح عند تلك النقطة. 3. نحول المعادلات إلى دوال: $$F(x,y,z) = xy^2z - 3x - z^2 = 0$$ $$G(x,y,z) = 3x^2 - y^2 + 2z - 1 = 0$$ 4. نحسب متجهات التدرج (gradient vectors) لكل دالة، حيث أن متجه التدرج هو متجه عمودي على السطح: $$\nabla F = \left(\frac{\partial F}{\partial x}, \frac{\partial F}{\partial y}, \frac{\partial F}{\partial z}\right)$$ $$\nabla G = \left(\frac{\partial G}{\partial x}, \frac{\partial G}{\partial y}, \frac{\partial G}{\partial z}\right)$$ 5. نحسب مشتقات $F$: $$\frac{\partial F}{\partial x} = y^2 z - 3$$ $$\frac{\partial F}{\partial y} = 2 x y z$$ $$\frac{\partial F}{\partial z} = x y^2 - 2 z$$ 6. نحسب مشتقات $G$: $$\frac{\partial G}{\partial x} = 6 x$$ $$\frac{\partial G}{\partial y} = -2 y$$ $$\frac{\partial G}{\partial z} = 2$$ 7. نعوض النقطة $(1,-2,1)$ في متجهات التدرج: $$\nabla F(1,-2,1) = ((-2)^2 \times 1 - 3, 2 \times 1 \times (-2) \times 1, 1 \times (-2)^2 - 2 \times 1) = (4 - 3, -4, 4 - 2) = (1, -4, 2)$$ $$\nabla G(1,-2,1) = (6 \times 1, -2 \times (-2), 2) = (6, 4, 2)$$ 8. الزاوية $\theta$ بين متجهين $\mathbf{a}$ و $\mathbf{b}$ تعطى بالعلاقة: $$\cos \theta = \frac{\mathbf{a} \cdot \mathbf{b}}{\|\mathbf{a}\| \|\mathbf{b}\|}$$ 9. نحسب الضرب الداخلي: $$\mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = 1 \times 6 + (-4) \times 4 + 2 \times 2 = 6 - 16 + 4 = -6$$ 10. نحسب طول كل متجه: $$\|\mathbf{a}\| = \sqrt{1^2 + (-4)^2 + 2^2} = \sqrt{1 + 16 + 4} = \sqrt{21}$$ $$\|\mathbf{b}\| = \sqrt{6^2 + 4^2 + 2^2} = \sqrt{36 + 16 + 4} = \sqrt{56}$$ 11. نحسب $\cos \theta$: $$\cos \theta = \frac{-6}{\sqrt{21} \times \sqrt{56}} = \frac{-6}{\sqrt{1176}} = \frac{-6}{34.29} \approx -0.175$$ 12. نحسب الزاوية: $$\theta = \cos^{-1}(-0.175) \approx 100.1^\circ$$ 13. إذا أردنا الزاوية الحادة بين السطحين، نأخذ: $$180^\circ - 100.1^\circ = 79.9^\circ$$ النتيجة النهائية: الزاوية بين السطحين عند النقطة $(1,-2,1)$ هي تقريباً $79.9^\circ$.