1. Vamos calcular a área da região R para cada função dada, usando a integral definida quando necessário. (a) Para $f(x) = 4 - 2x$ no intervalo $[0,2]$: - A área sob a reta é um triângulo com base 2 e altura $f(0) = 4$. - Fórmula da área do triângulo: $\text{Área} = \frac{1}{2} \times \text{base} \times \text{altura}$. - Calculando: $\frac{1}{2} \times 2 \times 4 = 4$. Resposta: A área é $4$. (b) Para $f(x) = x^2$ no intervalo $[0,2]$: - A área sob a curva é dada pela integral $\int_0^2 x^2 \, dx$. - Calculando a integral: $\int x^2 \, dx = \frac{x^3}{3} + C$. - Avaliando de 0 a 2: $\left. \frac{x^3}{3} \right|_0^2 = \frac{2^3}{3} - 0 = \frac{8}{3}$. Resposta: A área é $\frac{8}{3}$. (c) Para $f(x) = 4 - |x|$ no intervalo $[-4,4]$: - A função forma um triângulo simétrico com base 8 e altura 4. - Área do triângulo: $\frac{1}{2} \times 8 \times 4 = 16$. Resposta: A área é $16$. (d) Para $f(x) = 4 - x^2$ no intervalo $[-2,2]$: - A área sob a curva é $\int_{-2}^2 (4 - x^2) \, dx$. - Calculando a integral: $$\int (4 - x^2) \, dx = 4x - \frac{x^3}{3} + C$$ - Avaliando de -2 a 2: $$\left(4(2) - \frac{2^3}{3}\right) - \left(4(-2) - \frac{(-2)^3}{3}\right) = \left(8 - \frac{8}{3}\right) - \left(-8 + \frac{-8}{3}\right)$$ $$= \left(8 - \frac{8}{3}\right) + 8 - \frac{8}{3} = 16 - \frac{16}{3} = \frac{48}{3} - \frac{16}{3} = \frac{32}{3}$$ Resposta: A área é $\frac{32}{3}$. Portanto, as áreas são: (a) 4 (b) $\frac{8}{3}$ (c) 16 (d) $\frac{32}{3}$