1. El problema es encontrar el área bajo la curva de la función $$y = x^{2} + 2x + 2$$ entre los puntos $$x_1 = -2$$ y $$x_2 = 2$$ sobre el eje X. 2. Para hallar el área bajo la curva entre dos puntos, usamos la integral definida: $$\text{Área} = \int_{x_1}^{x_2} f(x) \, dx$$ 3. En este caso, la función es $$f(x) = x^{2} + 2x + 2$$, entonces: $$\text{Área} = \int_{-2}^{2} (x^{2} + 2x + 2) \, dx$$ 4. Calculamos la integral indefinida: $$\int (x^{2} + 2x + 2) \, dx = \int x^{2} \, dx + \int 2x \, dx + \int 2 \, dx$$ $$= \frac{x^{3}}{3} + x^{2} + 2x + C$$ 5. Evaluamos la integral definida usando el teorema fundamental del cálculo: $$\text{Área} = \left[ \frac{x^{3}}{3} + x^{2} + 2x \right]_{-2}^{2} = \left( \frac{2^{3}}{3} + 2^{2} + 2 \cdot 2 \right) - \left( \frac{(-2)^{3}}{3} + (-2)^{2} + 2 \cdot (-2) \right)$$ 6. Simplificamos cada término: Para $$x=2$$: $$\frac{8}{3} + 4 + 4 = \frac{8}{3} + 8 = \frac{8}{3} + \frac{24}{3} = \frac{32}{3}$$ Para $$x=-2$$: $$\frac{-8}{3} + 4 - 4 = \frac{-8}{3} + 0 = \frac{-8}{3}$$ 7. Restamos para obtener el área: $$\frac{32}{3} - \left( \frac{-8}{3} \right) = \frac{32}{3} + \frac{8}{3} = \frac{40}{3}$$ 8. Por lo tanto, el área bajo la curva entre $$x=-2$$ y $$x=2$$ es $$\boxed{\frac{40}{3}}$$ unidades cuadradas.