1. Problemet är att bestämma konstanten $a$ så att $$\int_0^2 f(x) \, dx = f(a)$$ där $$f(x) = \frac{\sqrt{2x}}{x}.$$\n\n2. Vi börjar med att förenkla funktionen $f(x)$. Eftersom $$f(x) = \frac{\sqrt{2x}}{x} = \frac{\sqrt{2} \sqrt{x}}{x} = \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{x}} = \sqrt{\frac{2}{x}}.$$\n\n3. Nu beräknar vi integralen $$\int_0^2 f(x) \, dx = \int_0^2 \sqrt{\frac{2}{x}} \, dx = \int_0^2 \sqrt{2} x^{-1/2} \, dx = \sqrt{2} \int_0^2 x^{-1/2} \, dx.$$\n\n4. Integralen av $x^{-1/2}$ är $$\int x^{-1/2} \, dx = 2 \sqrt{x} + C.$$\n\n5. Därför är\n$$\int_0^2 f(x) \, dx = \sqrt{2} \left[ 2 \sqrt{x} \right]_0^2 = 2 \sqrt{2} \left( \sqrt{2} - 0 \right) = 2 \sqrt{2} \cdot \sqrt{2} = 2 \cdot 2 = 4.$$\n\n6. Vi har alltså $$\int_0^2 f(x) \, dx = 4.$$\n\n7. Nu ska vi hitta $a$ så att $$f(a) = 4.$$\n\n8. Eftersom $$f(a) = \sqrt{\frac{2}{a}} = 4,$$ kvadrerar vi båda sidor: $$\frac{2}{a} = 16.$$\n\n9. Lös för $a$: $$a = \frac{2}{16} = \frac{1}{8}.$$\n\n10. Slutsats: Konstanten $a$ är $$\boxed{\frac{1}{8}}.$$