1. Stwierdźmy problem: obliczyć całkę $ \int \ln(2x+1) \, dx $. 2. Użyjemy metody całkowania przez części, gdzie $ u = \ln(2x+1) $ i $ dv = dx $. 3. Obliczamy pochodne i całki: $ du = \frac{2}{2x+1} dx = \frac{2}{2x+1} dx $, $ v = x $. 4. Zastosuj wzór na całkowanie przez części: $$ \int u \, dv = uv - \int v \, du $$ czyli $$ \int \ln(2x+1) \, dx = x \ln(2x+1) - \int x \cdot \frac{2}{2x+1} dx $$ 5. Upraszczamy całkę: $$ \int x \cdot \frac{2}{2x+1} dx = 2 \int \frac{x}{2x+1} dx $$ 6. Rozpisujemy ułamek: $ \frac{x}{2x+1} = \frac{1}{2} \cdot \frac{2x+1 - 1}{2x+1} = \frac{1}{2} \left(1 - \frac{1}{2x+1}\right) $. 7. Podstawiamy do całki: $$ 2 \int \frac{x}{2x+1} dx = 2 \int \frac{1}{2} \left(1 - \frac{1}{2x+1}\right) dx = \int \left(1 - \frac{1}{2x+1}\right) dx $$ 8. Całkujemy: $$ \int 1 \, dx - \int \frac{1}{2x+1} dx = x - \frac{1}{2} \ln|2x+1| + C $$ 9. Podstawiamy wynik do wzoru z kroku 4: $$ \int \ln(2x+1) \, dx = x \ln(2x+1) - \left(x - \frac{1}{2} \ln|2x+1|\right) + C $$ 10. Upraszczamy: $$ = x \ln(2x+1) - x + \frac{1}{2} \ln|2x+1| + C $$ Ostateczna odpowiedź: $$ \int \ln(2x+1) \, dx = x \ln(2x+1) - x + \frac{1}{2} \ln|2x+1| + C $$