1. مسئله: مرکز سطح قسمت هاشور خورده زیر منحنی تابع $y = x^2 - x$ و بالای خط $y=2$ را بیابید. 2. ابتدا باید محدوده‌ی انتگرال‌گیری را مشخص کنیم. این محدوده نقاط تقاطع منحنی و خط $y=2$ است: $$x^2 - x = 2$$ $$x^2 - x - 2 = 0$$ 3. معادله درجه دوم را حل می‌کنیم: $$x = \frac{-(-1) \pm \sqrt{(-1)^2 - 4 \times 1 \times (-2)}}{2 \times 1} = \frac{1 \pm \sqrt{1 + 8}}{2} = \frac{1 \pm 3}{2}$$ 4. ریشه‌ها: $$x_1 = \frac{1 - 3}{2} = -1$$ $$x_2 = \frac{1 + 3}{2} = 2$$ 5. چون بازه $x$ از 0 تا 2.5 است و منطقه هاشور خورده در سمت چپ منحنی و زیر $y=2$ است، بازه انتگرال‌گیری $x \in [0,2]$ خواهد بود. 6. مساحت منطقه بین منحنی و خط $y=2$ برابر است با: $$A = \int_0^2 (2 - (x^2 - x)) \, dx = \int_0^2 (2 - x^2 + x) \, dx = \int_0^2 (-x^2 + x + 2) \, dx$$ 7. محاسبه مساحت: $$A = \left[-\frac{x^3}{3} + \frac{x^2}{2} + 2x \right]_0^2 = \left(-\frac{8}{3} + 2 + 4\right) - 0 = \frac{-8 + 6 + 12}{3} = \frac{10}{3}$$ 8. مرکز سطح (مرکز جرم) منطقه با مختصات $\bar{x}$ و $\bar{y}$ به صورت زیر محاسبه می‌شود: $$\bar{x} = \frac{1}{A} \int_0^2 x (2 - (x^2 - x)) \, dx = \frac{1}{A} \int_0^2 x (2 - x^2 + x) \, dx = \frac{1}{A} \int_0^2 (2x - x^3 + x^2) \, dx$$ 9. محاسبه $\bar{x}$: $$\int_0^2 (2x - x^3 + x^2) \, dx = \left[x^2 - \frac{x^4}{4} + \frac{x^3}{3}\right]_0^2 = \left(4 - \frac{16}{4} + \frac{8}{3}\right) - 0 = 4 - 4 + \frac{8}{3} = \frac{8}{3}$$ $$\bar{x} = \frac{\frac{8}{3}}{\frac{10}{3}} = \frac{8}{3} \times \frac{3}{10} = \frac{8}{10} = 0.8$$ 10. محاسبه $\bar{y}$: $$\bar{y} = \frac{1}{2A} \int_0^2 (2^2 - (x^2 - x)^2) \, dx = \frac{1}{2A} \int_0^2 (4 - (x^2 - x)^2) \, dx$$ 11. ابتدا عبارت داخل انتگرال را ساده می‌کنیم: $$(x^2 - x)^2 = (x^2 - x)(x^2 - x) = x^4 - 2x^3 + x^2$$ پس: $$4 - (x^4 - 2x^3 + x^2) = 4 - x^4 + 2x^3 - x^2$$ 12. انتگرال را محاسبه می‌کنیم: $$\int_0^2 (4 - x^4 + 2x^3 - x^2) \, dx = \left[4x - \frac{x^5}{5} + \frac{2x^4}{4} - \frac{x^3}{3}\right]_0^2 = \left(8 - \frac{32}{5} + 8 - \frac{8}{3}\right) - 0$$ $$= 16 - \frac{32}{5} - \frac{8}{3} = \frac{240}{15} - \frac{96}{15} - \frac{40}{15} = \frac{104}{15}$$ 13. نهایتاً: $$\bar{y} = \frac{1}{2 \times \frac{10}{3}} \times \frac{104}{15} = \frac{1}{\frac{20}{3}} \times \frac{104}{15} = \frac{3}{20} \times \frac{104}{15} = \frac{312}{300} = 1.04$$ 14. پاسخ نهایی: مرکز سطح قسمت هاشور خورده برابر است با $$\boxed{(\bar{x}, \bar{y}) = (0.8, 1.04)}$$