1. **بيان المسألة:** نريد مقارنة الدالتين $f(x)$ و $g(x)$ في المجالات المعطاة. 2. **تعريف الدوال:** - $f(x) = x - 1 + \ln(x)$ في المجال $(-1,1)$. - $g(x)$ غير معرف بدقة في السؤال لكن يُذكر أن $g(x) < f(x)$ في $[1,2[$. 3. **مقارنة الدالتين في المجال $(-1,1)$:** - نلاحظ أن $f(x)$ معرفة فقط لـ $x>0$ بسبب وجود $\ln(x)$. - ندرس الفرق $h(x) = f(x) - g(x)$. 4. **تحليل $f(x)$:** - $f(x) = x - 1 + \ln(x)$. - مشتقة $f'(x) = 1 + \frac{1}{x}$. - في المجال $(0,1)$، $f'(x) > 0$ لأن $1 + \frac{1}{x} > 0$. - إذن $f$ دالة متزايدة في $(0,1)$. 5. **مقارنة $f$ و $g$ في $(0.5, 10^{+\infty})$ حسب المعطيات:** - $g(x) < f(x)$ في $[1,2[$. - في $(0.5, 10^{+\infty})$، $g(x) < \ln(x)$. 6. **دراسة انعكاسية الدالة $f$:** - $f(x) = x + 1 + (\ln(x) - 1) \ln(x)^2 \cdot 0.1$. - حدود الدالة عند $x \to 0^+$ هي $-\infty$ وعند $x \to +\infty$ هي $+\infty$. 7. **نوع الدالة وحلول المعادلات:** - $f'(x) = 0$ و $f''(x) = 0$ تحدد نقاط الانعطاف والتمدد. 8. **جدول نوعية $f$ بين $0$ و $+\infty$:** - بناءً على المشتقات، نحدد فترات التزايد والتناقص. 9. **رسم الدالة $f$:** - باستخدام المعلومات السابقة، يمكن رسم $f$ مع نقاط الانعطاف. **النتيجة النهائية:** - في المجال $(0.5, 10^{+\infty})$، $g(x) < f(x)$. - في $[1,2[$، $g(x) < f(x)$. - $f$ دالة متزايدة في $(0,1)$.