1. **مشكلة:** نريد تحديد الفترة التي تكون فيها الدالة $$f(x) = \frac{-5}{x-2}$$ مقعرة للأسفل. 2. **قاعدة المشتقة الثانية:** لتحديد التقعر، نحتاج إلى المشتقة الثانية للدالة. إذا كانت $$f''(x) < 0$$ على فترة معينة، فإن الدالة تكون مقعرة للأسفل على تلك الفترة. 3. **حساب المشتقة الأولى:** $$f(x) = -5 (x-2)^{-1}$$ باستخدام قاعدة القوة: $$f'(x) = -5 \times (-1) (x-2)^{-2} = \frac{5}{(x-2)^2}$$ 4. **حساب المشتقة الثانية:** $$f''(x) = \frac{d}{dx} \left( \frac{5}{(x-2)^2} \right) = 5 \times \frac{d}{dx} (x-2)^{-2} = 5 \times (-2)(x-2)^{-3} = -\frac{10}{(x-2)^3}$$ 5. **تحليل إشارة المشتقة الثانية:** - المقام $$ (x-2)^3 $$ يغير إشارته عند $$x=2$$. - إذا $$x > 2$$، فإن $$ (x-2)^3 > 0 $$ وبالتالي $$f''(x) = -\frac{10}{(x-2)^3} < 0$$، إذن الدالة مقعرة للأسفل على الفترة $$ (2, \infty) $$. - إذا $$x < 2$$، فإن $$ (x-2)^3 < 0 $$ وبالتالي $$f''(x) = -\frac{10}{(x-2)^3} > 0$$، إذن الدالة مقعرة للأعلى على الفترة $$ (-\infty, 2) $$. 6. **النتيجة:** الدالة $$f(x)$$ مقعرة للأسفل فقط على الفترة $$ (2, \infty) $$.