1. نبدأ بذكر المشكلة: لدينا الدالة $$f(x) = \frac{-5}{x-2}$$ ونريد معرفة على أي فترة تكون الدالة معقرة للأسفل. 2. لفهم متى تكون الدالة معقرة للأسفل، نحتاج إلى دراسة إشارة المشتقة الثانية للدالة. 3. نحسب المشتقة الأولى: $$f'(x) = \frac{d}{dx} \left( \frac{-5}{x-2} \right) = -5 \cdot \frac{d}{dx} \left( (x-2)^{-1} \right) = -5 \cdot (-1)(x-2)^{-2} = \frac{5}{(x-2)^2}$$ 4. نحسب المشتقة الثانية: $$f''(x) = \frac{d}{dx} \left( \frac{5}{(x-2)^2} \right) = 5 \cdot \frac{d}{dx} \left( (x-2)^{-2} \right) = 5 \cdot (-2)(x-2)^{-3} = \frac{-10}{(x-2)^3}$$ 5. لتحديد تقعر الدالة، ننظر إلى إشارة المشتقة الثانية: - إذا كانت $$f''(x) < 0$$، الدالة معقرة للأسفل. - إذا كانت $$f''(x) > 0$$، الدالة معقرة للأعلى. 6. ندرس إشارة $$f''(x) = \frac{-10}{(x-2)^3}$$: - البسط $$-10$$ سالب دائمًا. - المقام $$ (x-2)^3 $$ يعتمد على إشارة $$x-2$$: - إذا $$x > 2$$، فإن $$ (x-2)^3 > 0 $$، إذن $$f''(x) = \frac{-10}{+} = -$$ سالب. - إذا $$x < 2$$، فإن $$ (x-2)^3 < 0 $$، إذن $$f''(x) = \frac{-10}{-} = +$$ موجب. 7. إذن، الدالة معقرة للأسفل على الفترة $$ (2, \infty) $$. الجواب الصحيح هو (b) $$(2, \infty)$$.