1. **Stel het probleem vast:** We willen bepalen of de functie $$f(x) = \frac{1}{2}x - \sqrt{x}$$ continu en afleidbaar is op het interval $$[0,4]$$. 2. **Definitie continuïteit:** Een functie is continu op een interval als er geen sprongen, gaten of asymptoten zijn. Formeel: $$\lim_{x \to a} f(x) = f(a)$$ voor alle $$a$$ in het interval. 3. **Controleer continuïteit:** - De functie bestaat uit $$\frac{1}{2}x$$ (lineair, continu overal) en $$-\sqrt{x}$$ (wortelfunctie, continu op $$[0, \infty)$$). - Omdat beide functies continu zijn op $$[0,4]$$, is hun som ook continu op $$[0,4]$$. 4. **Definitie afleidbaarheid:** Een functie is afleidbaar op een open interval als de afgeleide bestaat en continu is op dat interval. 5. **Controleer afleidbaarheid:** - De afgeleide is gegeven als $$f'(x) = \frac{1}{2} - \frac{1}{2\sqrt{x}}$$ voor $$x \in ]0,4[$$. - De term $$\frac{1}{2}$$ is constant en dus afleidbaar. - De term $$-\frac{1}{2\sqrt{x}}$$ is afleidbaar voor $$x > 0$$ omdat $$\sqrt{x}$$ differentieerbaar is op $$]0,4[$$. - Bij $$x=0$$ bestaat $$f'(x)$$ niet omdat $$\frac{1}{\sqrt{x}}$$ niet gedefinieerd is. 6. **Conclusie:** - $$f$$ is continu op $$[0,4]$$ omdat beide termen continu zijn en de som continu is. - $$f$$ is afleidbaar op $$]0,4[$$ met afgeleide $$f'(x) = \frac{1}{2} - \frac{1}{2\sqrt{x}}$$. - Bij $$x=0$$ is $$f$$ niet afleidbaar omdat $$f'(0)$$ niet bestaat. **Samenvatting:** - Continuïteit: controleer of de functie geen onderbrekingen heeft. - Afleidbaarheid: controleer of de afgeleide bestaat en continu is op het open interval. **Antwoord:** De functie $$f(x) = \frac{1}{2}x - \sqrt{x}$$ is continu op $$[0,4]$$ en afleidbaar op $$]0,4[$$ met $$f'(x) = \frac{1}{2} - \frac{1}{2\sqrt{x}}$$.