1. نبدأ ببيان المشكلة: لدينا دالة معرفة كالتالي: $$f(x)=\begin{cases} x^2 & x \neq 1 \\ 2 & x=1 \end{cases}$$ ونريد معرفة ما إذا كانت الدالة متصلة وقابلة للاشتقاق عند $x=1$. 2. لفحص الاتصال عند $x=1$، نستخدم تعريف الاتصال: الدالة $f$ متصلة عند $x=1$ إذا وفقط إذا: $$\lim_{x \to 1} f(x) = f(1)$$ 3. نحسب قيمة الدالة عند $x=1$: $$f(1) = 2$$ 4. نحسب النهاية عندما يقترب $x$ من 1: $$\lim_{x \to 1} f(x) = \lim_{x \to 1} x^2 = 1^2 = 1$$ 5. بما أن: $$\lim_{x \to 1} f(x) = 1 \neq f(1) = 2$$ الدالة ليست متصلة عند $x=1$. 6. لفحص القابلية للاشتقاق عند $x=1$، يجب أن تكون الدالة متصلة عند تلك النقطة، وهذا غير متحقق. 7. إذن، الدالة غير قابلة للاشتقاق عند $x=1$. النتيجة النهائية: الدالة غير متصلة وغير قابلة للاشتقاق عند $x=1$.