1. **Énoncé du problème :** Corriger l'exercice 3 qui porte sur la fonction $g(x) = x \sqrt{x + n}$ avec $\sqrt{x} \in [-1, +\infty[$. 2. **Rappel des primitives :** La primitive d'une fonction $f(x)$ est une fonction $F(x)$ telle que $F'(x) = f(x)$. Pour intégrer des fonctions composées, on utilise souvent la substitution ou la règle de la dérivation en chaîne inversée. 3. **Partie a) Vérification de l'expression de $b(n)$ :** On a $b(n) = (n c - n) \sqrt{x - n} - \sqrt{x - n}$. Il semble y avoir une confusion dans la notation, supposons que $b(n) = (x - n) \sqrt{x - n} - \sqrt{x - n}$. Factorisons $\sqrt{x - n}$ : $$b(n) = \sqrt{x - n} \big((x - n) - 1\big) = \sqrt{x - n} (x - n - 1)$$ 4. **Partie b) Déduire les primitives de $b$ sur $]-1, +\infty[$ :** On cherche $\int b(n) \, dn = \int \sqrt{n} (n - 1) \, dn$ en posant $n = x - n$ pour simplifier. Posons $u = n$, alors : $$\int \sqrt{u} (u - 1) \, du = \int u^{1/2} (u - 1) \, du = \int (u^{3/2} - u^{1/2}) \, du$$ Calculons chaque terme : $$\int u^{3/2} \, du = \frac{u^{5/2}}{5/2} = \frac{2}{5} u^{5/2}$$ $$\int u^{1/2} \, du = \frac{u^{3/2}}{3/2} = \frac{2}{3} u^{3/2}$$ Donc : $$\int b(n) \, dn = \frac{2}{5} u^{5/2} - \frac{2}{3} u^{3/2} + C = \frac{2}{5} n^{5/2} - \frac{2}{3} n^{3/2} + C$$ 5. **Partie 2) Déterminer les primitives de $g$ sur $]1, +\infty[$ avec $g(n) = \frac{2x}{\sqrt{n} - n}$ :** On a $g(n) = \frac{2x}{\sqrt{n} - n}$. Posons $u = \sqrt{n} - n$. Pour intégrer $g(n)$, on peut écrire $g(n)$ en fonction de $n$ et utiliser la substitution ou simplifier l'expression. Cependant, sans plus de précisions, on peut écrire la primitive formelle : $$\int g(n) \, dn = \int \frac{2x}{\sqrt{n} - n} \, dn$$ Cette intégrale nécessite une méthode spécifique selon la relation entre $x$ et $n$. --- **Résumé :** - Correction de la fonction $b(n)$ en factorisant. - Calcul explicite de la primitive de $b(n)$. - Expression de la primitive de $g(n)$ laissée formelle faute de précisions supplémentaires.