1. **مشكلة:** لدينا الدالة $f(x) = x + \ln(x)$ ونريد إيجاد النقاط الحرجة، وفترات التزايد والتناقص. 2. **صيغة النقاط الحرجة:** النقاط الحرجة هي حيث يكون المشتق الأول للدالة صفرًا أو غير معرف. 3. **حساب المشتق:** $$f'(x) = \frac{d}{dx}(x) + \frac{d}{dx}(\ln(x)) = 1 + \frac{1}{x}$$ 4. **إيجاد النقاط الحرجة:** نساوي المشتق بالصفر: $$1 + \frac{1}{x} = 0$$ 5. **حل المعادلة:** $$\frac{1}{x} = -1$$ $$\Rightarrow x = -1$$ لكن $x$ يجب أن يكون في مجال الدالة $x > 0$ لأن $\ln(x)$ معرف فقط ل $x > 0$. 6. إذن، لا توجد نقاط حرجة في مجال الدالة. 7. **فترات التزايد والتناقص:** - ندرس إشارة المشتق $f'(x) = 1 + \frac{1}{x}$ على $x > 0$. 8. عند $x > 0$: $$f'(x) = 1 + \frac{1}{x} > 1 + 0 = 1 > 0$$ 9. إذن، الدالة تزايدية دائمًا على $(0, \infty)$. 10. لا توجد فترة تناقص لأن المشتق دائمًا موجب في مجال الدالة. **النتائج:** - (1) لا توجد نقطة حرجة في $x > 0$. - (2) الدالة تزايدية في $(0, \infty)$. - (3) الدالة لا تناقص في أي فترة ضمن مجالها. **الإجابات:** (1) (د) لا يوجد نقطة حرجة (2) (ج) $(0, \infty)$ (3) (د) تزايدية دائماً