1. Знайдемо критичні точки функції $$y = -\frac{1}{3}x^3 + 9x$$. Критичні точки знаходяться там, де похідна функції дорівнює нулю або не існує. 2. Знайдемо похідну: $$y' = -\frac{1}{3} \cdot 3x^2 + 9 = -x^2 + 9$$ 3. Розв'яжемо рівняння $$y' = 0$$: $$-x^2 + 9 = 0$$ $$x^2 = 9$$ $$x = \pm 3$$ Отже, критичні точки: $$x = -3$$ та $$x = 3$$. --- 2. Знайдемо проміжки зростання і спадання функції $$y = x^2 + 3x - 1$$. 1. Знайдемо похідну: $$y' = 2x + 3$$ 2. Знайдемо критичну точку: $$2x + 3 = 0$$ $$2x = -3$$ $$x = -\frac{3}{2}$$ 3. Дослідимо знак похідної на проміжках: - Для $$x < -\frac{3}{2}$$: виберемо $$x = -2$$, тоді $$y'(-2) = 2(-2) + 3 = -4 + 3 = -1 < 0$$, функція спадає. - Для $$x > -\frac{3}{2}$$: виберемо $$x = 0$$, тоді $$y'(0) = 3 > 0$$, функція зростає. Отже, функція спадає на $$(-\infty, -\frac{3}{2})$$ і зростає на $$(-\frac{3}{2}, +\infty)$$. --- 3. Знайдемо екстремуми функцій: 1) $$y = x^3 - 3x^2$$ - Похідна: $$y' = 3x^2 - 6x = 3x(x - 2)$$ - Критичні точки: $$3x(x - 2) = 0 \Rightarrow x = 0, x = 2$$ - Друга похідна: $$y'' = 6x - 6$$ - Перевірка екстремумів: Для $$x=0$$: $$y''(0) = -6 < 0$$, отже максимум. Для $$x=2$$: $$y''(2) = 6 > 0$$, отже мінімум. - Значення функції в критичних точках: $$y(0) = 0 - 0 = 0$$ $$y(2) = 8 - 12 = -4$$ Отже, максимум у точці $$(0,0)$$, мінімум у точці $$(2,-4)$$. 2) $$y = 12x^2 - 2x^3$$ - Похідна: $$y' = 24x - 6x^2 = 6x(4 - x)$$ - Критичні точки: $$6x(4 - x) = 0 \Rightarrow x = 0, x = 4$$ - Друга похідна: $$y'' = 24 - 12x$$ - Перевірка екстремумів: Для $$x=0$$: $$y''(0) = 24 > 0$$, отже мінімум. Для $$x=4$$: $$y''(4) = 24 - 48 = -24 < 0$$, отже максимум. - Значення функції в критичних точках: $$y(0) = 0$$ $$y(4) = 12 \cdot 16 - 2 \cdot 64 = 192 - 128 = 64$$ Отже, мінімум у точці $$(0,0)$$, максимум у точці $$(4,64)$$.